马尔可夫链Z的状态空间与转移概率矩阵求解问询

设$X={X_n}$是状态空间为$S$、转移概率矩阵为$P=[P_{ij}]$的马尔可夫链，$Y={Y_n}$是状态空间为$W$、转移概率矩阵为$Q=[Q_{kl}]$的马尔可夫链，且$X$与$Y$相互独立。定义过程$Z={Z_n}$满足$Z_n=(X_n,Y_n)$，请完成：
(a) 确定$Z$的状态空间；
(b) 假设$Z$是马尔可夫链，确定其转移概率矩阵。

(a) 确定$Z$的状态空间 #

因为$Z_n$是$X_n$和$Y_n$的有序对，其中$X_n$的所有可能取值是状态空间$S$，$Y_n$的所有可能取值是状态空间$W$，那么$Z_n$的所有可能取值就是这两个状态空间的笛卡尔积，记作：
$$S \times W = {(s, w) \mid s \in S, w \in W}$$
简单来说，$Z$的每个状态都是把$X$的一个状态和$Y$的一个状态配对起来，所有这样的配对组合就构成了$Z$的状态空间。

(b) 确定$Z$的转移概率矩阵 #

首先，我们需要计算从状态$(i, k)$（对应$X_n=i$，$Y_n=k$）转移到状态$(j, l)$（对应$X_{n+1}=j$，$Y_{n+1}=l$）的概率，即$P(Z_{n+1}=(j,l) \mid Z_n=(i,k))$。

由于$X$和$Y$是相互独立的马尔可夫链，根据马尔可夫性和独立性，我们可以拆分这个条件概率：
$$
\begin{align*}
P(Z_{n+1}=(j,l) \mid Z_n=(i,k)) &= P(X_{n+1}=j, Y_{n+1}=l \mid X_n=i, Y_n=k) \
&= P(X_{n+1}=j \mid X_n=i) \cdot P(Y_{n+1}=l \mid Y_n=k) \
&= P_{ij} \cdot Q_{kl}
\end{align*}
$$

所以，$Z$的转移概率矩阵中，对应从状态$(i,k)$到$(j,l)$的元素就是原马尔可夫链$X$的转移概率$P_{ij}$与$Y$的转移概率$Q_{kl}$的乘积。如果我们把$Z$的状态按某种顺序（比如字典序）排列成一个列表，那么转移概率矩阵的行对应起始状态$(i,k)$，列对应目标状态$(j,l)$，每个位置的元素就是$P_{ij}Q_{kl}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者alienboy