如何高效计算$rac{25!}{3!}$？求无展开全项的非计算器解法

首先，咱们先简化这个表达式——其实不用算完整的25!再除以3!，因为分子的最后三项（3×2×1）刚好和分母的3!抵消，所以：
$$\frac{25!}{3!} = 25×24×23×...×4$$
这样一下子就少了3个乘数，直接从4乘到25就行，这是第一步减负。

接下来针对无计算器的考试场景，分享两个高效的计算思路：

思路1：分步凑整笔算 #

这种方法适合一步步推导，每一步都用简单的乘法拆分，避免复杂计算：

• 先从大的数开始，优先凑整十/整百的组合：
  1. $25×24 = 25×4×6 = 100×6 = 600$（利用25×4=100的速算技巧）
  2. $600×23 = 600×20 + 600×3 = 12000 + 1800 = 13800$
  3. $13800×22 = 13800×20 + 13800×2 = 276000 + 27600 = 303600$
  4. $303600×21 = 303600×20 + 303600×1 = 6072000 + 303600 = 6375600$
  5. $6375600×20 = 127512000$（整十数直接加0）
  6. 遇到类似×19、×18的数，用“乘20减本身”“乘10加乘8”的技巧：比如$127512000×19 = 127512000×20 - 127512000 = 2550240000 - 127512000 = 2422728000$
  7. 以此类推，每一步都把复杂乘法拆成整十数加减，逐步推导到最后一个数4。

这种方法的核心是把大乘法拆成小的、易心算的步骤，每一步只需要处理简单的加减乘，不容易出错。

思路2：质因数凑10简化 #

如果觉得分步还是麻烦，可以先把所有数分解质因数，凑出尽可能多的10（减少位数），再计算剩余部分：

1. 先统计从4到25的质因数：
   • 5的个数：5、10、15、20、25，共6个（25是5²）
   • 2的个数远多于6个，所以可以用6个2和6个5凑成$10^6 = 1000000$
2. 把所有数去掉凑10用的2和5，剩下的质因数重新组合：
   • 剩余的2的个数：总2的个数（25!里的2是22个，减去3!里的1个，再减去凑10用的6个）=15个，即$2^{15}=32768$
   • 剩余的3的个数：总3的个数（25!里是10个，减去3!里的1个）=9个，即$3^9=19683$
   • 其他质因数：$7^3=343$、$112=121$、13、17、19、23
3. 把这些剩余的数分步相乘，最后再乘以$10^6$：
   比如先算$32768×19683$，再乘343，依次乘下去，最后加6个0即可。

这种方法适合对质因数分解熟悉的人，能大幅减少中间结果的位数，降低计算复杂度。

不管用哪种方法，核心都是先简化表达式，再拆分计算，避免直接展开全项——毕竟考试里算25!全展开太费时间了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ski Mask