无一阶矩假设下样本均值的上确界问题

首先直接给结论：这个上确界不一定几乎必然有限——我们可以构造出满足条件的随机变量序列，使得$Z = \sup_{n \geq 1} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$几乎必然是无穷大。

构造反例 #

我们先构造一个非负随机变量$X_1$：它的分布满足对任意正整数$k$，$P(X_1 > k) = \frac{1}{k}$（具体来说，可定义$P(X_1 \in (k, k+1]) = \frac{1}{k(k+1)}$，这样累计起来$P(X_1 > k) = \sum_{m=k}^\infty \frac{1}{m(m+1)} = \frac{1}{k}$，是合法的概率分布）。

这个$X_1$显然几乎必然有限（因为$P(X_1 = \infty) = 0$），但它的期望是无穷大：
$$E(X_1) = \int_0^\infty P(X_1 > t)dt = \sum_{k=0}^\infty P(X_1 > k) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \infty$$

证明上确界几乎必然无穷 #

接下来用Borel-Cantelli第二引理来分析：
对于任意正数$M$，考虑事件$A_n = {X_n > M n}$。由于$X_n$独立同分布，$P(A_n) = P(X_1 > M n) = \frac{1}{M n}$。

注意到级数$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \frac{1}{M}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$是发散的，根据Borel-Cantelli第二引理（独立事件的情况），几乎必然有无穷多个$n$使得$A_n$发生——也就是几乎必然存在无穷多个$n$，满足$X_n > M n$。

对于每个这样的$n$，我们有：
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \geq \frac{X_n}{n} > M$$

因为$M$是任意取的正数，这意味着$\sup_{n \geq 1} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$几乎必然大于任何给定的正数，也就是它几乎必然是无穷大。

补充说明 #

如果我们额外假设$E(X_1) < \infty$，根据强大数定律，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$会几乎必然收敛到$E(X_1)$，此时上确界就是有限的$E(X_1)$。但题目中不限制期望有限，就会出现上确界几乎必然无穷的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alfred F.