能否将两函数之和的拉格朗日插值多项式分解为两个独立的拉格朗日多项式？

绝对可以！这个结论是拉格朗日插值线性性质的直接体现，咱们从定义出发就能轻松推导出来：

首先回忆拉格朗日插值多项式的定义：对于任意函数$h$，它在节点$x_0, x_1, ..., x_n$处的拉格朗日插值多项式是：
$$L[x_0, x_1, ..., x_n; h] = \sum_{k=0}^n h(x_k) \cdot l_k(x)$$
这里的$l_k(x)$是拉格朗日基函数，只由插值节点$x_0,...,x_n$决定，和被插值的函数$h$完全无关——这是关键！

那咱们把$h = f+g$代入这个定义：
$$L[x_0, x_1, ..., x_n; f+g] = \sum_{k=0}^n (f(x_k) + g(x_k)) \cdot l_k(x)$$
根据加法的分配律，这个求和式可以拆成两个独立的求和：
$$= \sum_{k=0}^n f(x_k) \cdot l_k(x) + \sum_{k=0}^n g(x_k) \cdot l_k(x)$$
而这两个求和式，正好就是$f$和$g$各自在相同节点上的拉格朗日插值多项式！所以最终结论就是：
$$L[x_0,x_1,...,x_n;f+g] = L[x_0,x_1,...,x_n;f] + L[x_0,x_1,...,x_n;g]$$

额外补充一点：你提到$f$和$g$不一定是多项式，这完全不影响结论——只要$f$和$g$在所有插值节点$x_k$处有定义（也就是$f(x_k)$和$g(x_k)$是确定的数值），这个等式就成立。因为整个推导只用到了基函数的定义和加法的线性性，和函数本身是不是多项式没有关系。

举个简单的小例子验证一下：

• 取插值节点$x_0=0$，$x_1=1$
• 令$f(x)=e^x$，$g(x)=\sin x$
• $L[x_0,x_1;f] = 1\cdot(1-x) + e\cdot x$
• $L[x_0,x_1;g] = 0\cdot(1-x) + \sin1\cdot x$
• $L[x_0,x_1;f+g] = (1+0)\cdot(1-x) + (e+\sin1)\cdot x$，显然等于前两个多项式的和。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nfff3