有界递减正函数与特定正函数的积分不等式证明或证伪

咱们先把已知条件和要验证的结论明确下来：

• $f$ 是 $(0,\infty)$ 上的有界递减正函数，因此 $f(t)^2$ 也必然是 $(0,\infty)$ 上的递减函数（正函数的平方不会改变单调性）
• $x$ 是正函数，满足两个约束：
  • 对任意 $t\in(0,\infty)$，都有 $0 < x(t) \le 1$
  • $\int_0^\infty (x(t))^{2}dt\le 1$

需要验证的不等式：
$$ \int_0^\infty f(t)^2 x(t)^2 dt \le \int^1_0 f(t)^2 dt.$$

核心推导思路 #

1. 递减函数的积分特性：对于递减函数 $g(t)=f(t)^2$，如果我们有一个总测度不超过1的区域，那么把这个测度集中在 $t$ 最小的区间（也就是 $g(t)$ 取值最大的区域）时，积分值会达到最大。简单说，越往左（t越小），$g(t)$ 越大，所以把权重放在左边能得到最大积分。

2. 权重积分的转化：令 $c = \int_0^\infty x(t)^2 dt$，显然 $c \le 1$。我们可以把 $\int_0^\infty g(t)x(t)^2dt$ 看作是给 $g(t)$ 加了权重 $x(t)^2$，总权重是 $c$。根据上面的特性，这个加权积分一定不会超过把总权重 $c$ 全部集中在 $(0,c]$ 上的积分，也就是：
   $$\int_0^\infty g(t)x(t)^2dt \le \int_0^c g(t)dt.$$

3. 区间积分的比较：因为 $c \le 1$，而且 $g(t)$ 是递减的，所以 $\int_0^c g(t)dt$ 必然小于等于 $\int_0^1 g(t)dt$——毕竟 $(c,1]$ 区间上的 $g(t)$ 虽然比 $g(c)$ 小，但加进去只会让积分总和变大。

4. 联立结论：把上面的步骤串起来，就得到：
   $$\int_0^\infty f(t)^2x(t)2dt = \int_0^\infty g(t)x(t)^2dt \le \int_0^c g(t)dt \le \int_0^1 g(t)dt = \int_0^1 f(t)^2dt.$$

综上，原不等式是成立的。

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