第一卦限内抛物面下方体积的二重积分限确定问题
你变量替换的思路是对的，我帮你理清楚积分限的确定逻辑，顺便补上容易忽略的关键细节：
θ的积分限：你判断的完全正确！因为是第一卦限，要求$x≥0$、$y≥0$，代入替换式$x=2r\cos\theta$和$y=9r\sin\theta$，就需要$\cos\theta≥0$且$\sin\theta≥0$，对应的θ范围就是$0 \rightarrow \frac{\pi}{2}$，不用考虑$0 \rightarrow 2\pi$（那是整个xOy平面的范围）。
r的积分限：这里你之前的猜想有偏差，正确范围应该是$0 \rightarrow 1$，理由是：
我们要计算的是抛物面下方且z≥0的区域体积（第一卦限内z自然非负），代入变量替换后，$z=1 - r2(\cos2\theta + \sin2\theta)=1-r2$，当z=0时，$1-r^2=0$，解得$r=1$（r是非负的，舍去负解），因此r的上限是1，下限是0。
另外补充一个容易遗漏的点：你写的积分式$\iint (1-r^2)r drd\theta$少了雅可比行列式的系数。变量替换时，$dxdy$需要替换为雅可比行列式的绝对值乘以$drd\theta$，计算这个替换的雅可比行列式：
$$
J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
2\cos\theta & -2r\sin\theta \
9\sin\theta & 9r\cos\theta
\end{vmatrix} = 18r\cos^2\theta + 18r\sin^2\theta = 18r
$$
所以正确的积分式应该是：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} (1-r^2) \cdot 18r \ drd\theta
$$
后续计算也很直观：先对r积分，$\int_{0}{1}18r(1-r2)dr=18\left[\frac{r2}{2}-\frac{r4}{4}\right]_01=\frac{9}{2}$；再对θ积分，$\int_{0}{\frac{\pi}{2}}d\theta=\frac{\pi}{2}$，最终体积就是$\frac{9}{2}\times\frac{\pi}{2}=\frac{9\pi}{4}$。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者novo
