关于含逐阶可逆元的滤子幺半群与群关系的技术问询

今天来唠唠群的一类有意思的推广——具有逐阶可逆元的滤子幺半群，具体的定义和特点我给你拆解清楚：

基本定义 #

先给定一个滤子幺半群的结构：$H = H_0 \supsetneq H_1 \supsetneq H_2 \supsetneq \cdots$，它得满足这么一个关键要求：
对任意元素 $h \in H$ 和任意自然数 $n \in \Bbb{N}$，总能找到一个对应的 $h_n \in H$，使得 $h \cdot h_n \in H_n$ 同时 $h_n \cdot h \in H_n$。

说白了，这就是说每个元素都是逐阶可逆的——它不一定有全局的逆元，但不管你指定哪个“阶数”$n$，都能找到个元素跟它相乘，结果落到$H_n$这个子幺半群里。

两种核心情况 #

• 如果这个滤过序列在有限步之后就稳定到单位元了，那这个$H$就是个正经的群；
• 如果滤过序列是无限往下延伸的，那$H$未必是群，但它的性质跟群特别接近，算是群的“近亲”。

直观示例 #

最容易理解的例子就是多项式环的滤子结构：令 $R = k[x] \supset (x) \supset (x^2) \supset \cdots$，这里$k[x]$是域$k$上的一元多项式环，$(x^n)$是由$xn$生成的理想，对应的乘法幺半群（去掉零元）就完全满足上面的逐阶可逆条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dmitry Kerner