向量空间子空间运算等式验证：F∩(H+(F∩G))=(F∩H)+(F∩G)是否成立？

假设$F$、$G$、$H$是向量空间$E$的子空间，我们要判断等式：
$$F\cap (H+(F\cap G))=(F\cap H)+(F\cap G)$$
是否成立——答案是成立，下面我们通过双向包含来完整证明：

第一步：证明$(F\cap H)+(F\cap G) \subseteq F\cap (H+(F\cap G))$ #

任取$u \in (F\cap H)+(F\cap G)$，根据子空间和的定义，存在$v \in F\cap H$，$w \in F\cap G$，使得$u = v + w$。

• 因为$v \in F$且$w \in F$，而$F$是子空间（对加法封闭），所以$u = v + w \in F$；
• 同时$v \in H$，$w \in F\cap G \subseteq G$，所以$u = v + w \in H + (F\cap G)$。

结合这两点，$u$既属于$F$又属于$H+(F\cap G)$，因此$u \in F\cap (H+(F\cap G))$。这就证明了$(F\cap H)+(F\cap G)$是$F\cap (H+(F\cap G))$的子集。

第二步：证明$F\cap (H+(F\cap G)) \subseteq (F\cap H)+(F\cap G)$ #

任取$u \in F\cap (H+(F\cap G))$，根据交集定义，$u \in F$且$u \in H + (F\cap G)$。

由$u \in H + (F\cap G)$，存在$h \in H$，$k \in F\cap G$，使得$u = h + k$。

因为$u \in F$，$k \in F$，而$F$是子空间（对减法封闭），所以$h = u - k \in F$。又因为$h$原本属于$H$，因此$h \in F\cap H$。

现在$u = h + k$，其中$h \in F\cap H$，$k \in F\cap G$，所以$u \in (F\cap H)+(F\cap G)$。这就证明了$F\cap (H+(F\cap G))$是$(F\cap H)+(F\cap G)$的子集。

结论 #

结合双向包含关系，我们最终得到：
$$F\cap (H+(F\cap G))=(F\cap H)+(F\cap G)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Guillemus Callelus