线性代数习题求助：证明f为数乘恒等映射

你这个开头完全没问题呀！咱们接着往下推就好：

首先，取$V$的一组有序基$(v_1,v_2,\dots,v_n)$，先看每个单个基向量张成的子空间$\text{span}(v_i)$——因为题目明确每个子空间都是$f$-不变的，所以$f(v_i)$必须落在$\text{span}(v_i)$里，因此存在$c_i\in K$，使得：
$$f(v_i)=c_i v_i \quad (i=1,2,\dots,n)$$

接下来关键是证明所有$c_i$都相等：

• 任取两个不同的基向量$v_i$和$v_j$，考虑子空间$\text{span}(v_i+v_j)$，它同样是$f$-不变的，所以$f(v_i+v_j)$必须是$v_i+v_j$的某个倍数，即存在$k\in K$，使得：
  $$f(v_i+v_j)=k(v_i+v_j)$$
• 另一方面，根据线性变换的可加性，$f(v_i+v_j)=f(v_i)+f(v_j)=c_i v_i + c_j v_j$。
• 因为$v_i$和$v_j$是基中的向量，线性无关，所以上面两个表达式的系数必须对应相等：
  $$c_i = k, \quad c_j = k$$
  这就得出$c_i=c_j$。

既然任意两个$c_i$和$c_j$都相等，那不妨设这个公共值为$a\in K$，于是对每个基向量$v_i$，都有$f(v_i)=a v_i$。

最后，对$V$中任意向量$v=\sum_{i=1}^n k_i v_i$（$k_i\in K$），根据线性变换的线性性：
$$f(v)=f\left(\sum_{i=1}^n k_i v_i\right)=\sum_{i=1}^n k_i f(v_i)=\sum_{i=1}^n k_i (a v_i)=a \sum_{i=1}^n k_i v_i = a\cdot id_V(v)$$

所以$f=a\cdot id_V$，证毕。

补充：如果$V$是一维空间，结论显然成立——唯一的非零子空间就是$V$本身，$f$只能是数乘变换，这也完全符合上面的推导逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Atak