关于Lang《线性代数导论》中柯西-施瓦茨不等式证明的疑问

先把问题里的定理和证明片段整理出来：

出自Lang所著《线性代数导论》（1985年版）第27页定理4.2：设A、B为ℝⁿ中的两个向量，则|A·B|≤||A|| ||B||。
证明过程中令c=(A·B)/(B·B)，将A表示为A = A - cB + cB，由勾股定理得||A||²=||A - cB||² + ||cB||²=||A - cB||² + c²||B||²

你的疑问完全是逻辑上的小混淆，我来一步步拆解：

首先要明确：任何向量的范数平方都是非负的，也就是||A - cB||² ≥ 0，这是范数的基本性质——范数定义为向量与自身内积的平方根，平方后就是内积，而内积满足正定性：非零向量内积为正，零向量为0。

看证明里的等式：
||A||² = ||A - cB||² + c²||B||²

我们把c²||B||²移到等式左边，得到：
||A||² - c²||B||² = ||A - cB||²

因为右边的||A - cB||²是非负的，所以左边的差值也必须是非负的：
||A||² - c²||B||² ≥ 0

现在把c²||B||²移到不等式右边，不等号方向保持不变（我们只是移项，没有乘除负数），就得到：
||A||² ≥ c²||B||²

而这个式子和c²||B||² ≤ ||A||²是完全等价的——只是把不等式两边的项交换了位置，不等号方向反转而已，就像5 ≥ 3和3 ≤ 5是同一个意思。

所以这个推导的核心依据就是范数平方的非负性，你觉得符号应该是≥的那个式子，和最终得到的≤式子是等价表述，只是写法不同而已。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sasaki