有限域上幂零矩阵的特征值问题：特征0域结论是否适用？

1. 有限域上幂零矩阵的特征值是什么？ #

先从幂零矩阵的定义说起：如果存在某个正整数 ( k )，使得矩阵 ( A ) 满足 ( A^k = 0 )（零矩阵），那 ( A ) 就是幂零矩阵。

假设 ( \lambda ) 是 ( A ) 在有限域 ( \mathbb{F}_q ) 上的一个特征值，对应的特征向量是 ( x \neq 0 )，根据特征值定义有 ( Ax = \lambda x )。我们对这个式子反复左乘 ( A )，就能得到 ( A^k x = \lambda^k x )。

因为 ( A^k = 0 )，左边就是 ( 0x = 0 )，所以右边 ( \lambda^k x = 0 )。而特征向量 ( x \neq 0 )，有限域又是整环（不存在非零元素相乘得零的情况），所以只能是 ( \lambda^k = 0 )。在域中只有0的幂次会是0，因此 ( \lambda = 0 )。

简单说：有限域上的幂零矩阵，所有特征值都是0。

2. 特征0域上的结论是否适用于有限域？ #

答案是完全适用。刚才的推导根本没用到“特征为0”这个条件——不管域的特征是0还是素数 ( p )，只要是域（必然是整环），从 ( \lambda^k = 0 ) 就能推出 ( \lambda = 0 )。特征0域的结论本质依赖的是域的整环性质，有限域同样满足这个性质，所以结论直接迁移过来完全没问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PAMG