求给定5阶实矩阵A的行列式值（含部分推导过程）

嗨，我接着你的推导继续完成这个行列式的计算，先把你的步骤理顺，再补全后续过程～

首先，给定矩阵：
$$A = \begin{bmatrix} a&a&a&a&b\a&a&a&b&a\a&a&b&a&a\a&b&a&a&a\b&a&a&a&a\end{bmatrix}$$

你第一步交换行的思路是对的，但要注意：交换一次两行，行列式符号改变，这里我们交换第1行和第5行、第2行和第4行（共两次交换，偶数次），所以行列式值不变，得到对称矩阵：
$$\det(A) = \det\left(\begin{bmatrix} b&a&a&a&a\a&b&a&a&a\a&a&b&a&a\a&a&a&b&a\a&a&a&a&b\end{bmatrix}\right)$$

接下来，我们可以用行列式的行变换性质简化计算：

1. 把第2到第5行全部加到第1行，第一行的每个元素都会变成 $b + 4a$，提取这个公因子：
   $$\det(A) = (b+4a) \det\left(\begin{bmatrix} 1&1&1&1&1\a&b&a&a&a\a&a&b&a&a\a&a&a&b&a\a&a&a&a&b\end{bmatrix}\right)$$

2. 然后对第2到第5行做行变换：第$i$行（$i=2,3,4,5$）减去 $a \times$ 第1行，这样可以把第一列除了第一个元素外都变成0，得到上三角矩阵：
   $$\det(A) = (b+4a) \det\left(\begin{bmatrix} 1&1&1&1&1\0&b-a&0&0&0\0&0&b-a&0&0\0&0&0&b-a&0\0&0&0&0&b-a\end{bmatrix}\right)$$

3. 上三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积，也就是 $(b-a)^4$，所以最终结果：
   $$\det(A) = (b+4a)(b-a)^4$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Noy