级数∑ₙ=0^∞ n·(sinx)ⁿ的敛散性判定与求和咨询

嘿，我来帮你理清这个级数的问题～

首先得纠正你关于收敛范围的小错误：$\sin x$的取值是$[-1,1]$，当$|\sin x|=1$时（也就是$x=k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}$），级数会变成$\sum_{n=0}^\infty n\cdot1^{n$或者$\sum_{n=0}}\infty n\cdot(-1)^{n$，这时候通项$n\cdot(\pm1)}n$并不趋于0，根据级数收敛的必要条件，这时候级数是发散的。所以正确的收敛范围是**$|\sin x|<1$，即$x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}$**。

接下来是求和的方法，我们可以利用已知的幂级数展开式来推导：

• 首先回忆等比级数的求和公式：当$|t|<1$时，$\sum_{n=0}^\infty t^n = \frac{1}{1-t}$
• 对这个等式两边关于$t$求导（幂级数在收敛域内可以逐项求导），得到：
  $$\sum_{n=1}^\infty n t^{n-1} = \frac{1}{(1-t)^2}$$
• 两边同时乘以$t$，就得到：
  $$\sum_{n=1}^\infty n t^n = \frac{t}{(1-t)^2}$$
• 原级数中$n=0$的项是$0\cdot(\sin x)^{0=0$，所以$\sum_{n=0}}\infty n\cdot(\sin x)^{n$和$\sum_{n=1}}\infty n\cdot(\sin x)^n$完全相等。把$t=\sin x$代入上面的式子，当$|\sin x|<1$时，级数的和就是：
  $$\frac{\sin x}{(1-\sin x)^2}$$

如果需要化简结果，也可以用三角恒等式展开：
$$\frac{\sin x}{(1-\sin x)^2} = \frac{\sin x(1+\sin x)}{(1-\sin^2 x)^2} = \frac{\sin x + \sin^2 x}{\cos^4 x}$$
不过通常保留前一种形式就足够啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者KatherineEnilin