若X子空间D同胚于Y闭集E且Cl_Y(Int_Y(E))=E，Cl_X(Int_X(D))=D成立吗？

首先咱们把问题明确下来：

假设$D \subseteq X$是拓扑空间$X$的任意子空间，且$D$同胚于拓扑空间$Y$中的闭集$E \subseteq Y$，满足$\text{Cl}_Y(\text{Int}_Y(E)) = E$。请问是否一定有$\text{Cl}_X(\text{Int}_X(D)) = D$？
补充背景：此前曾提出过一个极为相似的问题，仅额外增加了$D$是$X$中闭集的条件；已知因$D$与$E$同胚，它们的内部也同胚，即$\text{Int}_X(D)$同胚于$\text{Int}_Y(E)$。

答案是否定的，存在明确的反例

咱们来构造这个反例：

• 取$Y = \mathbb{R}$（赋予标准欧氏拓扑），令$E = \mathbb{R}$。显然$E$是$Y$中的闭集，且$\text{Cl}_Y(\text{Int}_Y(E)) = \text{Cl}_Y(\mathbb{R}) = \mathbb{R} = E$，完全满足题设条件。
• 构造拓扑空间$X$：取$X$为$\mathbb{R}$的一点紧化，也就是$X = \mathbb{R} \cup {}$，其中$$是一个额外添加的点。$X$的拓扑定义为：
  • 所有$\mathbb{R}$中的标准开集都是$X$的开集；
  • 包含$*$的开集是$X$减去$\mathbb{R}$中的任意紧子集（也就是$\mathbb{R}$中的有界闭集）。
• 令$D = \mathbb{R} \subseteq X$，显然$D$和$E = \mathbb{R}$同胚（恒等映射就是同胚）。
• 现在计算$\text{Int}_X(D)$：$X$中所有包含于$D$的开集就是$\mathbb{R}$中的全部标准开集，它们的并集就是$\mathbb{R}$本身，所以$\text{Int}_X(D) = D$。
• 再计算$\text{Cl}_X(\text{Int}_X(D))$：在$X$的拓扑下，点$$的每个邻域都是$X$减去一个$\mathbb{R}$中的有界闭集，必然会与$\mathbb{R}$相交，因此$$属于$\text{Cl}_X(\mathbb{R})$。这就意味着$\text{Cl}_X(\text{Int}_X(D)) = \text{Cl}_X(\mathbb{R}) = X$，而$D = \mathbb{R} \neq X$，显然$\text{Cl}_X(\text{Int}_X(D)) \neq D$。

这个例子清晰地说明，当去掉$D$是$X$中闭集的条件后，原结论不再成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Perturbative