求解满足比例中项为28、第三比例项为224的两个数

嘿，你前面的解题思路完全正确！已经把题目条件转化成了两个关键方程，接下来只需要通过代入消元法就能算出结果啦，我一步步给你演示：

1. 先从你得到的方程(2)里把( x )用( y )表示出来：
   $$y^2=224x \implies x = \frac{y^2}{224}$$

2. 把这个( x )的表达式代入方程(1) ( xy=784 )中：
   $$\frac{y^2}{224} \times y = 784$$
   化简后得到：
   $$y^3 = 784 \times 224$$

3. 用质因数分解来清晰求立方根：

   • ( 784 = 28^2 = (2^2 \times 7)^2 = 2^4 \times 7^2 )
   • ( 224 = 2^5 \times 7 )
   • 所以( y^3 = 2^4 \times 7^2 \times 2^5 \times 7 = 2^9 \times 7^3 )
   • 开立方后可得：( y = 2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56 )

4. 再把( y=56 )代入( x = \frac{y^2}{224} )，算出( x )的值：
   $$x = \frac{56^2}{224} = \frac{3136}{224} = 14$$

最后验证一下：

• 14和56的比例中项：( \frac{14}{28} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2} )，符合条件；
• 14和56的第三比例项：( \frac{14}{56} = \frac{56}{224} = \frac{1}{4} )，也完全符合题目要求！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Souradeep Das