掷骰子集齐所有六点的期望回合数求解：基于转移概率矩阵

这个问题可以通过马尔可夫链状态期望或者利用随机变量最大值的期望公式来解决，下面分别展开两种方法：

方法1：马尔可夫链状态期望法 #

定义状态$E[k]$为当前已经有$k$个六点骰子时，还需要的期望投掷回合数。显然$E[5] = 0$（已经集齐，无需再投）。对于$k=0,1,2,3,4$，我们可以根据转移概率建立递归方程：

$$E[k] = 1 + \sum_{m=k}^5 P(k \to m) \cdot E[m]$$

其中$P(k \to m)$是从状态$k$转移到$m$的概率，即掷$(5-k)$个骰子时恰好得到$(m-k)$个六点的概率：
$$P(k \to m) = \binom{5-k}{m-k} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{m-k} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-m}$$

逐步求解各状态期望 #

• 状态$E[4]$：
  只剩1个骰子未出六点，每次投掷有$\frac{1}{6}$概率到状态5，$\frac{5}{6}$概率停留在状态4：
  $$E[4] = 1 + \frac{5}{6}E[4] + \frac{1}{6}E[5]$$
  代入$E[5]=0$，解得：
  $$E[4] = 6$$

• 状态$E[3]$：
  剩2个骰子，转移概率分别为$\left(\frac{5}{6}\right)^{2=\frac{25}{36}$（到3）、$\binom{2}{1}\frac{1}{6}\frac{5}{6}=\frac{10}{36}$（到4）、$\left(\frac{1}{6}\right)}2=\frac{1}{36}$（到5）：
  $$E[3] = 1 + \frac{25}{36}E[3] + \frac{10}{36}E[4] + \frac{1}{36}E[5]$$
  代入$E[4]=6$、$E[5]=0$，解得：
  $$E[3] = \frac{96}{11} \approx 8.727$$

• 状态$E[2]$：
  剩3个骰子，代入转移概率和已知的$E[3],E[4]$，解得：
  $$E[2] = \frac{10566}{1001} \approx 10.555$$

• 状态$E[1]$：
  剩4个骰子，代入转移概率和已知期望，解得：
  $$E[1] = \frac{8010576}{671671} \approx 11.926$$

• 状态$E[0]$（目标结果）：
  初始状态，5个骰子都未出六点，用你给出的转移概率代入方程：
  $$E[0] = 1 + \frac{3125}{7776}E[0] + \frac{3125}{7776}E[1] + \frac{1250}{7776}E[2] + \frac{250}{7776}E[3] + \frac{25}{7776}E[4] + \frac{1}{7776}E[5]$$
  代入所有已知期望，最终解得：
  $$E[0] \approx 13.02$$

方法2：利用随机变量最大值的期望公式 #

这个问题可以等价于：求5个独立的几何分布随机变量的最大值的期望。每个骰子首次掷出六点的回合数$T_i$服从参数$p=\frac{1}{6}$的几何分布（$P(T_i=k) = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}\cdot\frac{1}{6}$），整个过程的结束时间$T = \max(T_1,T_2,T_3,T_4,T_5)$。

对于非负整数随机变量，期望可以表示为：
$$E[T] = \sum_{k=1}^\infty P(T \geq k)$$

而$P(T \geq k)$表示“至少有一个骰子在前$k-1$次投掷中都没出六点”，即：
$$P(T \geq k) = 1 - \left(1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}\right)5$$

将其代入期望公式，令$m = k-1$，则：
$$E[T] = \sum_{m=0}^\infty \left[1 - \left(1 - \left(\frac{5}{6}\right)^m\right)5\right]$$

展开二项式$(1-x)^{5$（其中$x=\left(\frac{5}{6}\right)}m$）：
$$1 - (1-x)^5 = 5x - 10x^2 + 10x^3 -5x^4 +x^5$$

利用等比数列求和公式$\sum_{m=0}^\infty x^{km} = \frac{1}{1 - x^k}$（当$|xk|<1$，此处显然成立），代入得：
$$E[T] = \frac{5}{1 - \frac{5}{6}} - \frac{10}{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2} + \frac{10}{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3} - \frac{5}{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4} + \frac{1}{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^5}$$

计算每一项后求和，最终得到：
$$E[T] \approx 13.02$$

两种方法得到的结果一致，即集齐所有六点的期望投掷回合数约为13.02次。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rigel