求方程(r − a) × (r − b) = (0, 0, 0)的所有解（已知a、b为给定向量）

首先得回忆向量叉乘的核心性质：两个向量的叉乘为零向量，当且仅当这两个向量共线（包括其中至少一个向量是零向量的情况）。基于这个性质，我们可以把原方程拆解成两种情况逐步分析：

情况1：其中一个向量是零向量 #

• 当 $r - \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$ 时，也就是 $r = \boldsymbol{a}$，代入原方程左边得 $\boldsymbol{0} \times (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{0}$，完全满足方程。
• 当 $r - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$ 时，也就是 $r = \boldsymbol{b}$，代入原方程左边得 $(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}$，同样满足方程。

情况2：两个非零向量共线 #

如果 $r - \boldsymbol{a}$ 和 $r - \boldsymbol{b}$ 都是非零向量，那它们共线意味着存在实数 $\lambda \neq 0$（因为向量非零），使得：
$$r - \boldsymbol{a} = \lambda (r - \boldsymbol{b})$$

接下来整理这个等式求解 $r$：

1. 展开并移项：$r - \lambda r = \boldsymbol{a} - \lambda \boldsymbol{b}$
2. 提取公因子：$r(1 - \lambda) = \boldsymbol{a} - \lambda \boldsymbol{b}$
3. 当 $\lambda \neq 1$ 时，两边除以 $(1 - \lambda)$：
   $$r = \frac{\boldsymbol{a} - \lambda \boldsymbol{b}}{1 - \lambda}$$

这个式子可以改写成更直观的直线参数形式：令 $k$ 为任意实数，把 $r$ 表示为 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的线性组合：
$$r = \boldsymbol{a} + k(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) = (1 - k)\boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b}$$

当 $k=0$ 时得到 $r=\boldsymbol{a}$，$k=1$ 时得到 $r=\boldsymbol{b}$，刚好覆盖了情况1的两个解。

最终结论 #

原方程的所有解，就是连接向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 终点的直线上的所有向量，用参数形式表示为：
$$r = \boldsymbol{a} + k(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}), \quad k \in \mathbb{R}$$
（或者等价的 $r = (1 - k)\boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b}$，$k$ 为任意实数）

简单来讲，所有满足条件的向量 $r$ 的终点，都落在过 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 终点的直线上。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者misquared