请求证明ℝ³\((\{0\}×\{0\}×ℝ)∪(𝒮¹×\{0\})\)与环面𝒮¹×𝒮¹同伦等价

嘿，这个问题我当初学代数拓扑的时候也卡过一阵子！其实核心思路是找形变收缩——说白了就是把你说的这个三维空间慢慢“捏”成环面，而且整个过程中不会碰到被去掉的部分，这样就能直接证明两者同伦等价了。下面用更直观的两步法来拆解：

首先明确我们的目标空间：$\mathbb{R}^3$去掉了两个集合——无限延伸的z轴（{0}×{0}×ℝ），以及xy平面上的单位圆（$\mathcal{S}^1×{0}$）。我们可以先把这个三维空间收缩到一个更简单的中间空间：半径为1的圆柱面（$r=1$）去掉它的中心圆（$\mathcal{S}^1×{0}$），也就是$\mathcal{S}^1×(\mathbb{R}\setminus\{0\})$。

构造这个形变收缩的映射$H_1$：

H_1((r,θ,z), t) = (1 + t(r-1), θ, z)

• 当t=0时，$H_1$是原空间上的恒等映射；
• 当t=1时，所有点都被拉到$r=1$的圆柱面上；
• 整个形变过程完全安全：不会碰到z轴（因为初始点$r≠0$，形变后$r=1+t(r-1)$永远不为0），也不会碰到xy平面的单位圆（如果$z=0$，初始点$r≠1$，形变后$r$始终不等于1）。

现在我们得到了中间空间$\mathcal{S}^1×(\mathbb{R}\setminus\{0\})$，这个空间和环面$\mathcal{S}^1×\mathcal{S}^1$的同伦等价就很明显了：因为$\mathbb{R}\setminus\{0\}$可以形变收缩到单位圆$\mathcal{S}^1$（把任意非零实数映射到它的正负单位方向）。

构造这个形变收缩的映射$H_2$：

H_2((θ, z), t) = (θ, z/(1 - t + t|z|))

• 当t=0时，$H_2$是中间空间上的恒等映射；
• 当t=1时，$z$被映射到$z/|z|$，也就是$\mathcal{S}^1$上的点；
• 整个过程中$z≠0$，完全避开了中间空间被去掉的中心圆。

把上面两个形变收缩组合起来，先执行$H_1$（将原空间收缩到中间圆柱面），再执行$H_2$（将中间圆柱面收缩到环面），就得到了原空间到环面的完整形变收缩。

根据代数拓扑的定义：如果存在从空间X到空间Y的形变收缩，那么X和Y是同伦等价的。这样就完成了证明。

同伦等价的空间基本群必然相同，我们可以用这一点辅助确认：

• 环面$\mathcal{S}^1×\mathcal{S}^1$的基本群是$\mathbb{Z}×\mathbb{Z}$；
• 中间空间$\mathcal{S}^1×(\mathbb{R}\setminus\{0\})$的基本群是$\pi_1(\mathcal{S}^1)×\pi_1(\mathbb{R}\setminus\{0\}) = \mathbb{Z}×\mathbb{Z}$，和环面完全一致，进一步验证了结论的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alvar Pastor Vives