有限指标子群下群同调限制映射$H_j(G,A)\to H_j(H,A)$显式构造问询

假设$G$是一个群，$H$是$G$的有限指标子群，$A$是一个$G$-模。我最近在试着把群同调里的限制映射$H_j(G,A)\to H_j(H,A)$的构造过程彻底弄明白，梳理下来第一步得这么推进：

• 先引入映射$H_j(G,A)\to H_j(G,\operatorname{Ind}^{G}_{H}(A))$，之后再结合Shapiro引理来完成整个限制映射的构造。
• 这个映射是通过一个$G$-态射函子性地诱导出来的，具体的$G$-态射为：
  $$\tau\colon A\to\mathbb{Z}[G]\otimes_{\mathbb{Z}[H]}A=\operatorname{Ind}^{G}_{H}(A)$$

接下来我们可以回顾诱导模$\operatorname{Ind}^{{G}_{H}(A)$的相关性质，还有Shapiro引理的具体结论——它能把$H_j(G,\operatorname{Ind}}{G}_{H}(A))$和$H_j(H,A)$建立同构关系，这样就能把整个限制映射的逻辑链条完整串起来了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shoutre