不被烫伤时可饮用的最大水量计算问题

首先，我们来拆解这个问题的核心约束：初始有1升20°C的常温水，可无限获取100°C沸水，只能饮用≤60°C的水，且只能从瓶中直接饮用（混合后水温均匀）。目标是找到能喝到的最大水量。

最优策略推导 #

我们的核心思路是每次将现有冷水与沸水混合至刚好60°C（这是可饮用的最高温度，能最大化利用沸水的热量来扩容可饮用水总量），然后喝掉所有混合后的水。具体推导如下：

假设当前瓶中有( m )升20°C的水，加入( x )升100°C沸水后，混合温度刚好为60°C。根据题目给出的水温公式：

(m * 20 + x * 100) / (m + x) = 60

解这个方程：

• 展开得：( 20m + 100x = 60m + 60x )
• 整理后：( 40x = 40m ) → ( x = m )

也就是说，每1升20°C的冷水，需要加入1升沸水才能混合成2升60°C的可饮用水。对于初始的1升冷水，加入1升沸水后得到2升60°C的水，全部喝掉就是当前能获取的最大水量。

为什么其他策略无法获得更多水量？ #

可能你会考虑分多次混合、喝一部分留一部分再继续操作，但实际上混合后的水是均匀的，剩下的水温度为60°C，再加入沸水的话，混合温度会超过60°C（比如( (60m + 100x)/(m+x) = 60 + 40x/(m+x) > 60 )），完全无法饮用。

如果选择先喝掉一部分冷水再混合，总饮水量会是( a + 2(1-a) = 2 - a )（( a )是先喝掉的冷水量），显然( a )越大，总饮水量越小，只有当( a=0 )时能达到最大值。

如果选择混合到低于60°C再饮用，后续再混合的话，总饮水量也会小于2升——因为没有充分利用沸水的热量来“扩容”可饮用水的总量。

结论 #

可饮用的最大水量为2升，最优策略是：直接往1升20°C的冷水中加入1升100°C的沸水，混合成2升60°C的水后全部饮用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ftfish