关于证明p:O(n)→Sⁿ⁻¹为纤维O(n-1)的局部平凡丛的技术问询

哈哈，你选的开覆盖 ( U = S^{n-1} \setminus {e_n} ) 和 ( V = S^{n-1} \setminus {-e_n} ) 完全找对了！这是球面的标准半球面覆盖，刚好能用来构造需要的平凡化映射。我来一步步帮你把细节补全：

先理清纤维的结构 #

首先，对于任意 ( x \in S^{n-1} )，纤维 ( p^{-1}(x) ) 就是所有满足 ( A e_n = x ) 的正交矩阵 ( A \in O(n) )。注意到正交矩阵的列是标准正交基，所以A的前n-1列必然是 ( x^\perp )（x的正交补空间，n-1维欧氏空间）的一组标准正交基。而 ( O(n-1) ) 正好是 ( x^\perp ) 上的正交变换群，这意味着纤维里的每个矩阵都可以通过“固定( e_n )的正交变换”加上“把( e_n )转到x的正交矩阵”组合出来——这就是平凡化的核心思路。

构造U上的平凡化映射 #

对于 ( U = S^{n-1} \setminus {e_n} ) 里的任意x，我们用Householder反射矩阵来构造一个连续依赖于x的正交矩阵 ( Q_x )，满足 ( Q_x e_n = x )：

• 令 ( v = x - e_n )，因为x≠( e_n )，所以v≠0，定义：
  [
  Q_x = I - 2\frac{vv^T}{|v|2}
  ]
  这个矩阵是正交矩阵（Householder反射都是正交的），而且直接计算就能得到 ( Q_x e_n = x )，最重要的是 ( Q_x ) 是连续依赖于x的（因为v连续依赖x，范数和矩阵乘法都是连续操作）。

接下来定义平凡化映射 ( \phi_U: U \times O(n-1) \to p^{-1}(U) )：
对于每个 ( (x, B) \in U \times O(n-1) )，令：
[
\phi_U(x, B) = Q_x \cdot \begin{pmatrix} B & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}
]

• 验证像在 ( p^{-1}(U) ) 里：因为 ( \begin{pmatrix} B & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} e_n = e_n )，所以 ( \phi_U(x,B) e_n = Q_x e_n = x \in U )，而且两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵，所以这个矩阵确实属于 ( O(n) )。
• 构造逆映射 ( \phi_U^{-1}: p^{-1}(U) \to U \times O(n-1) )：
  对于任意 ( A \in p^{-1}(U) )，记 ( x = A e_n \in U )，令 ( C = Q_x^T A )（正交矩阵的转置就是逆）。因为 ( C e_n = Q_x^T x = Q_x^T Q_x e_n = e_n )，所以C可以写成分块矩阵 ( \begin{pmatrix} B & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} )，其中 ( B \in O(n-1) )（C是正交矩阵，前n-1列构成 ( e_n^\perp ) 的标准正交基，所以B是n-1阶正交矩阵）。
  那么逆映射就把A映射到 ( (x, B) )，其中B是C的前n-1阶子矩阵。
• 验证连续性：( x = A e_n ) 是连续映射（矩阵乘法连续），( Q_x ) 连续依赖x，所以 ( C = Q_x^T A ) 连续，提取前n-1阶子矩阵也是连续操作，因此逆映射连续。

这样 ( \phi_U ) 就是一个同胚，完成了U上的平凡化。

构造V上的平凡化映射 #

V是 ( S^{n-1} \setminus {-e_n} )，构造思路和U完全对称，只是调整Householder矩阵的构造：
对于 ( x \in V )，令 ( v = x + e_n )（因为x≠( -e_n )，所以v≠0），定义：
[
Q'_x = I - 2\frac{vv^T}{|v|2}
]
这个正交矩阵满足 ( Q'_x e_n = x )，而且同样连续依赖于x。

然后定义平凡化映射 ( \phi_V: V \times O(n-1) \to p^{-1}(V) )：
[
\phi_V(x, B) = Q'_x \cdot \begin{pmatrix} B & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}
]
逆映射的构造和U的情况一模一样：对于 ( A \in p^{-1}(V) )，( x = A e_n )，( C = (Q'_x)^T A )，B是C的前n-1阶子矩阵，逆映射把A映到 ( (x, B) )，同样能验证连续性和双射性。

最后确认局部平凡性 #

因为U和V覆盖了整个 ( S^{n-1} )，而且我们在每个开集上都构造了从 ( U \times O(n-1) )（或 ( V \times O(n-1) )）到对应原像的同胚，所以映射p确实是纤维为 ( O(n-1) ) 的局部平凡丛。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alexey Do