Courant《分析导论》s3.6-2：正弦等式推导及角平分线证明替代方法问询

Hey there! Let's break down your two questions from Courant's Introduction to Analysis section 3.6-2 step by step.

首先，锚定问题的几何场景（经典的抛物线光学性质问题）：我们有抛物线 ( y^2 = 2px )，焦点 ( F(\frac{p}{2},0) )，抛物线上一点 ( Q(x_0,y_0) )，切线 ( QP ) 交准线 ( x=-\frac{p}{2} ) 于点 ( P )，( M ) 是 ( Q ) 在准线上的垂足（即 ( M(-\frac{p}{2},y_0) )）。

原解答里“注意到……”之后的正弦等式，核心是正弦定理结合抛物线定义的应用：

1. 在 ( \triangle FQP ) 中，根据正弦定理：
   [
   \frac{\sin\angle FQP}{FP} = \frac{\sin\angle QPF}{QF}
   ]
2. 在 ( \triangle MQP ) 中，同样用正弦定理：
   [
   \frac{\sin\angle MQP}{MP} = \frac{\sin\angle QPM}{QM}
   ]
3. 验证三个关键等价关系：
   • 由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，因此 ( QF = QM )；
   • 计算线段长度可得 ( FP = MP )：代入坐标展开后，两者都等于 ( \frac{y_0^2 + p^2}{2|y_0|} )；
   • ( \angle QPF ) 和 ( \angle QPM ) 是同一个角（( PQ ) 为公共边，( F )、( M ) 分居切线两侧），因此 ( \sin\angle QPF = \sin\angle QPM )。

将这些代入正弦定理的两个式子，就能得到：
[
\sin\angle FQP = \sin\angle MQP
]
又因为这两个角都介于 ( 0 ) 到 ( \pi ) 之间，且和小于 ( \pi )（( QM ) 与 ( QF ) 不共线），所以必然有 ( \angle FQP = \angle MQP )，即切线 ( QP ) 平分 ( \angle FQM )。

这里提供三种不同思路的替代方法，覆盖代数、几何、向量三个方向：

1. 坐标夹角公式法 #

直接利用直线夹角的正切公式证明两个角的正切值相等：

• 切线 ( QP ) 的斜率：由抛物线切线方程 ( y_0y = p(x+x_0) )，得斜率 ( k_{QP} = \frac{p}{y_0} )；
• ( QF ) 的斜率：( k_{QF} = \frac{y_0}{x_0 - \frac{p}{2}} )；
• ( QM ) 是水平线段（( M ) 与 ( Q ) 纵坐标相同），斜率 ( k_{QM} = 0 )。

用夹角公式 ( \tan\theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right| ) 分别计算：

• ( \tan\angle FQP ) 代入化简后得 ( \frac{p}{|y_0|} )；
• ( \tan\angle MQP ) 直接计算得 ( \frac{p}{|y_0|} )。

两个角的正切值相等且均为锐角，因此角相等。

2. 几何反射原理法 #

利用抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点。

• ( QM ) 平行于抛物线对称轴（x轴），可看作平行于对称轴入射到切线 ( QP ) 的光线；
• 根据反射原理，反射光线必过焦点 ( F )，即 ( QF ) 为反射光线；
• 切线作为反射面，必然平分入射光线（( QM )）与反射光线（( QF )）的夹角，即 ( QP ) 平分 ( \angle FQM )。

3. 向量点积法 #

通过计算向量夹角的余弦值证明相等：

• 向量 ( \overrightarrow{QP} = \left( -\left(x_0+\frac{p}{2}\right), \frac{-y_0^2 - p^2}{2y_0} \right) )；
• 向量 ( \overrightarrow{QF} = \left( \frac{p}{2} - x_0, -y_0 \right) )；
• 向量 ( \overrightarrow{QM} = \left( -\left(x_0+\frac{p}{2}\right), 0 \right) )。

分别计算两个夹角的余弦：

• ( \cos\angle FQP = \frac{\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QF}}{|\overrightarrow{QP}| \cdot |\overrightarrow{QF}|} )，化简后得 ( \frac{x_0+\frac{p}{2}}{|\overrightarrow{QP}|} )；
• ( \cos\angle MQP = \frac{\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QM}}{|\overrightarrow{QP}| \cdot |\overrightarrow{QM}|} )，化简后得 ( \frac{x_0+\frac{p}{2}}{|\overrightarrow{QP}|} )。

余弦值相等且两个角均为锐角，因此角相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者helios321