复流形M的Hermitian度量h关于相反复结构的相关技术问询

先给你两个明确的结论，再慢慢拆解细节：

• 原Hermitian度量$h$关于相反复结构$\tilde{J}=-J$仍然是Hermitian度量；
• 关联的基本形式不会保持不变，会变成原基本形式的相反数。

为什么$h$仍是Hermitian度量？ #

先回忆下Hermitian度量的核心要求：对于复流形$M$上的复结构$J$，复值双线性形式$h$要成为Hermitian度量，得满足三个条件：

1. 共轭对称性：对任意向量场$X,Y$，$h(Y,X)=\overline{h(X,Y)}$；
2. 复结构相容性：对任意向量场$X,Y$，$h(JX,JY)=h(X,Y)$；
3. 正定性：对任意非零向量场$X$，$\text{Re},h(X,X)>0$。

当我们把复结构换成$\tilde{J}=-J$时：

• 共轭对称性是$h$本身的属性，和复结构没关系，直接满足；
• 复结构相容性：计算一下$h(\tilde{J}X,\tilde{J}Y)=h(-JX,-JY)=h(JX,JY)$，而原来的$h$对$J$就满足$h(JX,JY)=h(X,Y)$，所以这一项也等于$h(X,Y)$，完美符合相容性要求；
• 正定性：$\text{Re},h(X,X)$是关联的Riemannian度量，正定性是它自带的，和复结构无关，自然保留。

另外补充一句：$\tilde{J}=-J$本身也是可积的复结构（因为$J$可积，Nijenhuis张量$N_{\tilde{J}}=-N_J=0$），所以$M$用$\tilde{J}$也是复流形，$h$完全适配这个新结构。

为什么基本形式会改变？ #

基本形式是从Hermitian度量导出的实值2-形式，常用的定义是用关联的Riemannian度量$g=\text{Re},h$：$\omega(X,Y)=g(X,JY)$（也有用复值度量直接定义的，但本质上是一回事）。

当复结构换成$\tilde{J}=-J$时，新的基本形式$\tilde{\omega}$就变成了：
$$\tilde{\omega}(X,Y)=g(X,\tilde{J}Y)=g(X,-JY)=-g(X,JY)=-\omega(X,Y)$$

很明显，$\tilde{\omega}$是原基本形式$\omega$的相反数，所以基本形式不会保持不变。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lars Pettersen