求解常微分方程组遇阻，请求指导并求解给定带初值的ODE方程组

我来帮你一步步拆解这个线性常微分方程组的解法～这类带混合导数的方程组，通常用消元法把它转化为单变量的高阶方程来解，具体步骤如下：

步骤1：消元转化为单变量高阶方程 #

首先写出原方程组：
$$
\begin{align*}
\ddot x + 3\dot x - 2x + \dot y - 3y &= 2e^{-t} \tag{1} \
2\dot x - x +\dot y - 2y &= 0 \tag{2}
\end{align*}
$$
从方程(2)中解出$\dot{y}$，这是消元的关键：
$$\dot{y} = x - 2\dot{x} + 2y \tag{2a}$$

将(2a)代入方程(1)，化简后得到：
$$\ddot{x} + \dot{x} - x - y = 2e^{-t}$$
从中解出$y$的表达式：
$$y = \ddot{x} + \dot{x} - x - 2e^{-t} \tag{3}$$

对(3)两边求导，得到$\dot{y}$的另一种表达式：
$$\dot{y} = \dddot{x} + \ddot{x} - \dot{x} + 2e^{-t} \tag{4}$$

现在让(2a)和(4)相等，代入(3)中$y$的表达式到(2a)的右边，整理后得到关于$x$的三阶线性非齐次常微分方程：
$$\dddot{x} - \ddot{x} - \dot{x} + x = -6e^{-t} \tag{5}$$

步骤2：求解三阶非齐次方程的通解 #

齐次解 #

先处理齐次方程$\dddot{x} - \ddot{x} - \dot{x} + x = 0$，其特征方程为：
$$r^3 - r^2 - r + 1 = 0$$
因式分解得$(r-1)^2(r+1)=0$，特征根为$r=1$（二重根）、$r=-1$（单根），因此齐次解为：
$$x_h(t) = (C_1 + C_2 t)e^t + C_3 e^{-t}$$

特解 #

非齐次项为$-6e^{-t}$，由于$r=-1$是齐次方程的单根，设特解形式为$x_p(t)=A t e^{-t}$。对$x_p(t)$求一、二、三阶导数后代入方程(5)，计算得$A=-\frac{3}{2}$，因此特解为：
$$x_p(t) = -\frac{3}{2} t e^{-t}$$

所以$x(t)$的通解为齐次解加特解：
$$x(t) = (C_1 + C_2 t)e^t + C_3 e^{-t} - \frac{3}{2} t e^{-t} \tag{6}$$

步骤3：推导$y(t)$的表达式并应用初始条件 #

对(6)求导得到$\dot{x}(t)$，再代入(3)式得到$y(t)$的表达式：
$$y(t) = (C_1 + 3C_2 + C_2 t)e^t - C_3 e^{-t} - \frac{7}{2}e^{-t} + \frac{9}{2}t e^{-t} \tag{7}$$

现在应用初始条件$x(0)=0$、$\dot{x}(0)=0$、$y(0)=4$：

• $x(0)=0$：代入(6)得$C_1 + C_3 = 0$ → $C_1 = -C_3$
• $\dot{x}(0)=0$：代入$\dot{x}(t)$的表达式，结合$C_1=-C_3$得$C_2 - 2C_3 = \frac{3}{2}$
• $y(0)=4$：代入(7)得$3C_2 - 2C_3 = \frac{15}{2}$

解这个方程组，得到：
$$C_1=-\frac{3}{4}, \quad C_2=3, \quad C_3=\frac{3}{4}$$

步骤4：代入常数得到最终解 #

将常数代入(6)和(7)，整理后得到：
$$
\begin{align*}
x(t) &= 3t e^t - \frac{3}{4}e^t + \frac{3}{4}e^{-t} - \frac{3}{2}t e^{-t} \
y(t) &= 3t e^t + \frac{33}{4}e^t - \frac{17}{4}e^{-t} + \frac{9}{2}t e^{-t}
\end{align*}
$$

你可以验证一下，这个解完全满足原方程组和所有初始条件哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SKS