泰勒展开求解极限疑问：能否用渐近等价替换推导结果

嘿，我来帮你理清楚这个问题～首先得纠正你泰勒展开里的小细节，再聊聊能不能用渐近等价简化计算的事儿。

首先，先明确$\sin(t)$在$t \to 0$时的泰勒展开式：

$\sin(t) = t - \frac{t^3}{6} + \frac{t^5}{120} + o(t^5)$

把$t=x^{2$代入进去，得到$\sin(x}2)$的展开：
$$\sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} + o(x^{10})$$

先看你给出的分子：$\sin(x^2)-x+\frac{x6}{6}-x^{10}$ #

把展开式代入后，分子会变成：
$$
\begin{align*}
&\left(x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} + o(x^{10})\right) - x + \frac{x^6}{6} - x^{10} \
=& -x + x^2 + \left(-\frac{x^6}{6} + \frac{x^6}{6}\right) + \left(\frac{x^{10}}{120} - x^{10}\right) + o(x^{10}) \
=& -x + x^2 - \frac{119}{120}x^{10} + o(x^{10})
\end{align*}
$$

这里要注意：分子里存在**$-x$和$x^{2$这两个低阶无穷小项**，它们比$x}{10}$趋向于0的速度慢得多（比如$x$是$x^{10}$的低阶无穷小，$x \to 0$时$x/x^{10}=1/x9$会趋向于无穷大）。这时候你不能直接说分子渐近等价于$-\frac{119}{120}x^{10}$，因为渐近等价的定义是$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$，但这里：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{-x + x^2 - \frac{119}{120}x^{10} + o(x^{{10})}{-\frac{119}{120}x}{10}} = +\infty
$$
显然不满足等价的条件，自然没法用这个“等价”来简化计算。

而且这里还有个矛盾点：你说已知极限结果是$-\frac{119}{120}$，但按当前的分子计算，$\lim_{x \to 0} \frac{-x + x^2 - \frac{119}{120}x^{10} + o(x^{10})}{x{10}}$其实是不存在的——当$x \to 0^{+$时，$-x/x}{10}=-1/x^9 \to -\infty$；当$x \to 0^{-$时，$-x/x}{10}=1/|x|^9 \to +\infty$，左右极限不相等。

大概率是你笔误了！应该是分子里的$-x$写成了$-x^2$ #

如果分子是$\sin(x^2)-x2+\frac{x^6}{6}-x{10}$，那代入展开式后：
$$
\begin{align*}
&\left(x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} + o(x^{10})\right) - x^2 + \frac{x^6}{6} - x^{10} \
=& (x^2 - x^2) + \left(-\frac{x^6}{6} + \frac{x^6}{6}\right) + \left(\frac{x^{10}}{120} - x^{10}\right) + o(x^{10}) \
=& -\frac{119}{120}x^{10} + o(x^{10})
\end{align*}
$$

这时候所有低阶项都抵消了，只剩下$x^{10}$阶的项和更高阶的无穷小。这时候就完全可以用渐近等价来简化计算了：
因为$-\frac{119}{120}x^{10} + o(x^{10}) \sim -\frac{119}{120}x^{10}$（满足$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{119}{120}x^{10} + o(x^{{10})}{-\frac{119}{120}x}{10}}=1$），所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{119}{120}x^{10} + o(x^{10})}{x{10}} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{119}{120} + \frac{o(x^{10})}{x{10}} \right) = -\frac{119}{120}
$$

总结一下 #

• 如果分子确实是你写的$\sin(x^2)-x+\frac{x6}{6}-x^{10}$，那么极限不存在，且不能用你所说的渐近等价；
• 如果是笔误把$-x$写成了$-x^{2$，那么分子低阶项抵消后，完全可以用渐近等价于$-\frac{119}{120}x}{10}$来简化计算，得到预期的极限结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheWanderer