关于“n≥2时第n个素数pₙ<2ⁿ”的归纳法证明正确性问询

咱们来唠唠问题出在哪：

• 核心逻辑断层了：你只是把要证的右边 2ⁿ⁺¹ 拆成了 2ⁿ×2，但完全没说清楚为啥第n+1个素数 pₙ₊₁ 就一定小于这个数啊！归纳法的关键就是用n时的结论推n+1时的情况，你这一步等于直接跳过了最关键的推导环节，相当于说“因为右边是两倍的归纳假设的右边，所以命题成立”，这显然站不住脚。
• 没用到素数的关键性质：要完成这个归纳证明，必须用上素数的一个经典性质：第n+1个素数 pₙ₊₁ 肯定小于等于前n个素数的乘积加1（也就是 p₁×p₂×…×pₙ + 1）。道理很简单：如果 pₙ₊₁ 能整除前面所有素数的乘积，那它就得整除1，这显然不可能，所以 pₙ₊₁ 要么是这个乘积加1本身，要么是它的一个更小的素因数，总之不会超过这个值。
• 给你补个正确的归纳推导思路：
  1. 先把基础步骤坐实：n=2时，p₂=3 < 2²=4；n=3时，p₃=5 < 2³=8，这俩都没问题。
  2. 归纳假设：假设当n=k（k≥2）时，所有前k个素数都满足 pᵢ < 2ⁱ（i从1到k）。
  3. 推n=k+1的情况：
     • 先用素数性质：pₖ₊₁ ≤ p₁×p₂×…×pₖ + 1
     • 代入归纳假设放缩乘积：p₁×p₂×…×pₖ < 2¹×2²×…×2ᵏ = 2^(1+2+…+k)
     • 算一下求和：1+2+…+k = k(k+1)/2，对于k≥2，这个和肯定小于 2ᵏ（比如k=2时3<4，k=3时6<8，k=4时10<16，随便验证都成立）
     • 所以进一步放缩后，能轻松得出 pₖ₊₁ < 2^(k+1)，毕竟实际素数的增长速度远慢于指数。

总之，原证明的问题就是归纳步骤没有完成有效推导，只是空泛地拆分了右边的式子就判定成立，这不符合数学归纳法的严谨要求，所以是不正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sandeep Gautam