若$A \subseteq \mathbb{R}$满足$m^\ast(A) = 0$，是否存在$B,C∈\mathcal{B}(\mathbb{R})$使$A=B\setminus C$？

这个命题是成立的，我们可以借助Lebesgue测度的正则性和可测集的结构，直接构造出满足要求的Borel集$B$和$C$，具体思路和推导如下：

第一步：构造包含$A$的Borel零测集 #

已知$m^\ast(A)=0$，所以$A$是Lebesgue可测集，且测度$m(A)=0$。根据Lebesgue外测度的正则性——对任意可测集，总能找到包含它的$G_\delta$型Borel集，且两者测度相等——我们可以这么做：

• 对每个正整数$n$，找一个开集$U_n$覆盖$A$，并且让$m(U_n) < \frac{1}{n}$；
• 令$B = \bigcap_{n=1}^\infty U_n$，这个$B$是可数个开集的交集，属于$G_\delta$集，自然是Borel可测的；
• 显然$A \subseteq B$，而且$m(B) \leq m(U_n) < \frac{1}{n}$对所有$n$都成立，所以$m(B)=0$。

第二步：构造另一个Borel集，实现差集表示 #

现在看$B \setminus A$：它是Borel集$B$减去可测集$A$，所以也是Lebesgue可测的，而且因为$m(B)=0$，所以$m(B \setminus A) \leq m(B)=0$，即$B \setminus A$也是零测集。
同样用正则性，我们可以找到一个Borel集$C$，使得$B \setminus A \subseteq C$且$m(C)=0$。这里我们取$C' = C \cap B$（两个Borel集的交集还是Borel集），接下来验证$A = B \setminus C'$：

• 如果$x \in A$，那$x$肯定在$B$里，而且$x$不在$B \setminus A$中，自然也不在$C'$里（因为$C'$包含$B \setminus A$），所以$x \in B \setminus C'$；
• 如果$x \in B \setminus C'$，那$x$在$B$里但不在$C'$中，而$B \setminus A$是$C'$的子集，所以$x$不可能在$B \setminus A$里，只能在$A$中。

这样就完美证明了存在Borel集$B$和$C'$，使得$A = B \setminus C'$，命题成立。

本质上来说，这是因为Lebesgue$\sigma$-代数是Borel$\sigma$-代数关于零测理想的完备化，任何零测的Lebesgue可测集都能被一个Borel零测集包含，进而通过差集的形式转化为Borel集的运算结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Darkdub