高中奥数因式分解问题：分解$x^2 - 3xy + 2y^2 + x -8y - 6$

你已经完成了二次项和单变量二次式的分解，思路方向是对的，但接下来没法直接组合的原因是：这个多项式在整数范围内不能分解为两个整系数的一次因式，我们可以通过待定系数法来验证这一点：

用待定系数法验证不可约性 #

因为二次项部分已经分解为 (x - y)(x - 2y)，假设原式能分解成两个整系数一次式的乘积，那么形式应该是 (x - y + a)(x - 2y + b)（其中a、b是整数常数）。我们先展开右边：

(x - y + a)(x - 2y + b) = x² - 3xy + 2y² + (a + b)x + (-2a - b)y + ab

把展开式和原式 x² - 3xy + 2y² + x - 8y - 6 对比系数，得到三个方程：

• x的系数：a + b = 1
• y的系数：-2a - b = -8（整理后为 2a + b = 8）
• 常数项：ab = -6

解前两个方程：用第二个方程减去第一个方程，得到 a = 7，代入第一个方程得 b = -6。但此时 ab = 7*(-6) = -42，和第三个方程的-6矛盾。

这说明不存在满足条件的整数a和b，因此这个多项式在整数范围内无法分解为两个整系数一次因式的乘积。

补充：实数范围内的分解（非整系数形式） #

如果不限制整数系数，我们可以把原式看作关于x的二次式，用求根公式分解：
原式 = x² + (-3y + 1)x + (2y² - 8y - 6)
先计算判别式：

Δ = (-3y + 1)² - 4*1*(2y² - 8y - 6) = y² + 26y + 25 = (y + 1)(y + 25)

根据求根公式，x的根为：

x = [3y - 1 ± √((y+1)(y+25))]/2

因此原式在实数范围内可分解为：

[x - (3y - 1 + √((y+1)(y+25)))/2][x - (3y - 1 - √((y+1)(y+25)))/2]

不过这种形式并不是简洁的一次因式分解，实际应用中意义不大。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Janjan