如何利用谱的关联映射$^a\varphi$求$\mathbb{Z}[i]$的素理想？

咱们先把核心逻辑捋清楚：$\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[i]$是把整数$n$映射到$n+0i$的自然嵌入，谱映射$^{a\varphi$的定义是把$\mathbb{Z}[i]$中的素理想$\mathfrak{p}$映射到$\varphi}{-1}(\mathfrak{p}) = \mathfrak{p} \cap \mathbb{Z}$——也就是这个素理想和整数环的交，它必然是$\mathbb{Z}$中的素理想（要么是$(0)$，要么是某个素数生成的$(p)$）。

沙法列维奇说的“$(^a\varphi){-1}({(p)})$是$\mathbb{Z}[i]$中所有整除$p$的素理想的集合”，本质上就是让我们对$\mathbb{Z}$里的每个素理想（包括$(0)$），找出$\mathbb{Z}[i]$中对应“拉回”过来的素理想，也就是$\mathrm{Spec},\mathbb{Z}[i]$的所有“点”。

1. 首先处理$\boldsymbol{\mathbb{Z}}$中的零理想$\boldsymbol{(0)}$ #

$\mathbb{Z}$里的$(0)$对应的逆像就是$\mathbb{Z}[i]$中的零理想$(0)$，因为只有$\mathbb{Z}$里的$0$会被$\varphi$映射到$\mathbb{Z}[i]$的$0$中。所以$(0)$是$\mathrm{Spec},\mathbb{Z}[i]$里的一个“点”，它在$^a\varphi$下的像就是$\mathbb{Z}$的$(0)$。

2. 对$\boldsymbol{\mathbb{Z}}$中的素数$\boldsymbol{p}$，分三种情况讨论 #

对于$\mathbb{Z}$中的素数$p$，我们需要找出$\mathbb{Z}[i]$中所有满足$\mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} = (p)$的素理想$\mathfrak{p}$——这些就是$(^a\varphi){-1}({(p)})$里的元素，也就是$\mathbb{Z}[i]$中整除$p$的素理想。

子情况1：$\boldsymbol{p=2}$ #

在$\mathbb{Z}[i]$中，$2$可以分解为$(1+i)^{2$，其中$1+i$是不可约元（它的范数$N(1+i)=1}2+1^2=2$是素数，不可约）。所以$\mathbb{Z}[i]$中整除$2$的素理想只有$(1+i)$，而且这个素理想是分歧的（因为$2$是它的平方）。
简单说：$(^a\varphi){-1}({(2)}) = {(1+i)}$。

子情况2：$\boldsymbol{p \equiv 1 \pmod{4}}$ #

这类素数（比如5、13、17）满足费马平方和定理：$p$可以写成两个整数的平方和$p=a^2+b2$。此时在$\mathbb{Z}[i]$中，$p$会分解为$(a+bi)(a-bi)$，这两个因子都是不可约的（它们的范数都是$a^2+b2=p$，是素数），而且是不同的素理想（因为$a+bi$和$a-bi$不相伴，除非$b=0$，但$p$是素数，$b$不可能为0）。
举个例子：$p=5=1²⁺²2$，对应的素理想就是$(1+2i)$和$(1-2i)$，它们和$\mathbb{Z}$的交都是$(5)$。
所以这类情况：$(^a\varphi){-1}({(p)}) = {(a+bi), (a-bi)}$，这两个素理想是分裂的。

子情况3：$\boldsymbol{p \equiv 3 \pmod{4}}$ #

这类素数（比如3、7、11）在$\mathbb{Z}[i]$里是不可约的。原因很简单：假设$p$能分解为$(x+yi)(u+vi)$，那么范数$N(p)=p^2=(x2+y^2)(u2+v^{2)$。如果$x}2+y^2=p$，那$p$就是两个平方和，但$p \equiv3 \pmod{4}$，而平方数mod4只能是0或1，两个平方和mod4最多是2，不可能是3，矛盾。所以$x^2+y2$只能是1或$p^2$，前者意味着$x+yi$是单位元（1、-1、i、-i），所以$p$在$\mathbb{Z}[i]$里不可约，因此$(p)$是$\mathbb{Z}[i]$的素理想。
所以这类情况：$(^a\varphi){-1}({(p)}) = {(p)}$，这个素理想是惯性的。

总结：$\boldsymbol{\mathrm{Spec},\mathbb{Z}[i]}$的所有“点” #

把上面的情况整合起来，$\mathbb{Z}[i]$的素理想（也就是$\mathrm{Spec},\mathbb{Z}[i]$的“点”）分为三类：

• 零理想$(0)$；
• 形如$(a+bi)$的素理想：其中$a+bi$是$\mathbb{Z}[i]$的不可约元，范数是$2$（即$1+i$），或者范数是$p \equiv1 \pmod{4}$的素数；
• 形如$(p)$的素理想：其中$p$是$\equiv3 \pmod{4}$的素数。

再对应谱映射的关系：

• $^a\varphi$把$(0)$映射到$\mathbb{Z}$的$(0)$；
• $^a\varphi$把$(1+i)$映射到$\mathbb{Z}$的$(2)$；
• $^a\varphi$把$(a+bi)$和$(a-bi)$映射到$\mathbb{Z}$的$(p)$（$p \equiv1 \pmod{4}$）；
• $^a\varphi$把$(p)$映射到$\mathbb{Z}$的$(p)$（$p \equiv3 \pmod{4}$）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mark