黎曼和转积分：从给定极限式识别被积函数的技术咨询

咱们先一步步拆解你的问题，先从你给出的极限表达式入手：
$$\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^N \frac{2M}{3N}*(\frac{2}{3} - (\frac{2}{3N})^k)$$

首先你算出的极限结果$\frac{4M}{9}$是完全正确的，接下来逐个回答你的疑问：

1. 这个极限是否等价于某函数从1到无穷的积分？ #

答案是否。原因如下：
黎曼和对应的积分一般是有限区间上的定积分，标准形式是$\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^N f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)dx$，其中$\Delta x = \frac{b-a}{N}$，$x_k$是区间$[a,b]$上的样本点。
而你的和式可以拆成两部分：
$$\lim_{N\to\infty}\left( \sum_{k=1}^N \frac{2M}{3N} \cdot \frac{2}{3} - \sum_{k=1}^N \frac{2M}{3N} \cdot (\frac{2}{3N})^k \right)$$
第二部分的求和是等比数列，计算后可得$\sum_{k=1}^N (\frac{2}{3N})^k = \frac{\frac{2}{3N}(1 - (\frac{2}{3N})^N)}{1 - \frac{2}{3N}}$，当$N\to\infty$时，这部分趋近于$\frac{2}{3N}$，再乘以$\frac{2M}{3N}$后结果趋近于0，对整体极限无贡献。
第一部分是$\frac{4M}{9}\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}$，这是函数$f(x)=\frac{4M}{9}$在区间$[0,1]$上的黎曼和（样本点取$x_k=\frac{k}{N}$，$\Delta x=\frac{1}{N}$），对应的积分是$\int_0^1 \frac{4M}{9}dx = \frac{4M}{9}$，和你的极限结果一致，但这是有限区间的积分，和从1到无穷的积分没有关系。

2. 如何不通过积分直接提取原函数？ #

其实不用积分也能看出原函数：
刚才已经分析过，你的和式中只有第一部分对极限有贡献，这部分是$\sum_{k=1}^N \frac{4M}{9} \cdot \frac{1}{N}$。这相当于把区间$[0,1]$分成N个长度为$\frac{1}{N}$的小区间，每个小区间上取函数值为$\frac{4M}{9}$（常数函数），然后求和取极限。所以对应的原函数就是常数函数$f(x)=\frac{4M}{9}$。
至于那个带指数的小项，因为它在极限中完全消失了，所以不会影响原函数的提取。

3. 如何从该黎曼和中确定对应的函数？ #

要确定黎曼和对应的函数，核心是把和式往标准黎曼和形式上凑：
标准形式是$\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^N f\left(a + k\cdot\frac{b-a}{N}\right) \cdot \frac{b-a}{N}$，其中$\frac{b-a}{N}$是小区间长度$\Delta x$，$a + k\cdot\frac{b-a}{N}$是样本点$x_k$。
回到你的和式：

• 先忽略掉极限为0的第二部分，看第一部分$\frac{4M}{9}\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}$，这里$\Delta x=\frac{1}{N}$，样本点$x_k=\frac{k}{N}$（对应区间$[0,1]$，$a=0$，$b=1$），而$f(x_k)=\frac{4M}{9}$，所以函数$f(x)$就是常数$\frac{4M}{9}$。
• 再看第二部分的$(\frac{2}{3N})^k$，它不是关于样本点$x_k=\frac{k}{N}$的函数，而是关于$k$和$N$的复合指数项，当$N\to\infty$时，无论$k$是固定值还是和$N$同阶，这一项都会趋近于0，所以它不属于黎曼和中对应被积函数的部分。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者trynalearn