求函数$f(t)=\frac{\cos(\frac{3}{2}t)}{1+\cos^2(\frac{t}{4})}$的周期与傅里叶展开

嘿，先给你确认下周期的推测完全正确！$T=4\pi$确实是$f(t)=\frac{\cos(\frac{3}{2}t)}{1+\cos^{2(\frac{t}{4})}$的周期：分子$\cos(\frac{3}{2}t)$的周期是$\frac{2\pi}{\frac{3}{2}}=\frac{4\pi}{3}$，分母$1+\cos}2(\frac{t}{4})$的周期是$\frac{2\pi}{\frac{1}{4}}=8\pi$，两者的最小公倍数就是$4\pi$，你的判断没问题~

接下来重点解决傅里叶系数的计算，你已经写出了系数的积分表达式，我们一步步拆解：

第一步：变量替换简化积分 #

令$x=\frac{t}{4}$，则$t=4x$，$dt=4dx$，原积分区间$[-2\pi,2\pi]$对应$x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，代入$a_k$的表达式：
$$
a_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4dx \cdot \frac{\cos(6x)\cos(2kx)}{1+\cos^2x}
$$
化简后得到：
$$
a_k=\frac{2}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(6x)\cos(2kx)}{1+\cos^2x}dx
$$

第二步：积化和差拆分分子 #

利用三角恒等式$\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]$，把分子拆成两项：
$$
\cos(6x)\cos(2kx)=\frac{1}{2}[\cos(2(k+3)x)+\cos(2(3-k)x)]
$$
代入后$a_k$变为：
$$
a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(2(k+3)x)+\cos(2(3-k)x)}{1+\cos^2x}dx
$$

第三步：利用偶函数性质缩小积分区间 #

注意到被积函数是偶函数（分子分母都是偶函数），所以可以把积分区间缩小到$[0,\frac{\pi}{2}]$：
$$
a_k=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(2mx)+\cos(2nx)}{1+\cos^2x}dx
$$
其中$m=k+3$，$n=|3-k|$（因为$\cos(-\theta)=\cos\theta$，直接取绝对值即可）。

第四步：计算标准积分$I(p)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(2px)}{1+\cos^2x}dx$ #

先对分母变形：$1+\cos^2x=\frac{3+\cos2x}{2}$，令$y=2x$，则$dx=\frac{dy}{2}$，积分区间变为$[0,\pi]$，于是：
$$
I(p)=\int_{0}^{\pi} \frac{\cos(py)}{3+\cos y}dy
$$
这是一个标准定积分，对于整数$p\geq0$，有已知公式：
$$
\int_{0}^{\pi} \frac{\cos(py)}{a+\cos y}dy=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}\left( \sqrt{a^2-1}-a \right)^p \quad (a>1)
$$
代入$a=3$，$\sqrt{3^2-1}=2\sqrt{2}$，得到：
$$
I(p)=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left( 2\sqrt{2}-3 \right)^p
$$

第五步：代回计算傅里叶系数 #

把$I(p)$的结果代入$a_k$的表达式，最终得到：
$$
a_k=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ (2\sqrt{2}-3)^{k+3} + (2\sqrt{2}-3)^{|k-3|} \right]
$$
对于$a_0$，用同样方法计算可得：
$$
a_0=\frac{4}{\pi}I(3)=\sqrt{2}(2\sqrt{2}-3)^3
$$
代入你给出的傅里叶展开形式：
$$
f(t)=\pi a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos\left( \frac{kt}{2} \right)=\pi\sqrt{2}(2\sqrt{2}-3)^3 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ (2\sqrt{2}-3)^{k+3} + (2\sqrt{2}-3)^{|k-3|} \right]\cos\left( \frac{kt}{2} \right)
$$

额外说明 #

因为$2\sqrt{2}\approx2.828<3$，所以$(2\sqrt{2}-3)$是绝对值小于1的负数，随着$k$增大，对应的项会快速趋近于0，保证了级数的收敛性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者agneau