无需利用范数等价性证明有限维空间线性映射连续性

嘿，咱们来一步步搞定这个命题的证明，全程不用“有限维向量空间上任意两个范数等价”这个结论，纯靠基础定义和紧性来推导：

首先回忆一个关键结论：线性映射连续当且仅当它在0点连续。所以咱们只需要证明：
$$\forall \epsilon > 0: \exists\delta > 0: \forall v \in V: \Vert v \Vert <\delta \implies \Vert Tv\Vert < \epsilon$$

步骤1：取基并表示向量 #

因为$V$是有限维赋范空间，设它的一组基为$E := {e_1, e_2, ..., e_n}$。那么$V$中任意向量$v$都能唯一写成：
$$v = \sum_{i=1}^n a_i e_i$$
其中$a_i$是标量（实数或复数，取决于空间数域）。

步骤2：构造辅助常数 #

先定义一个有限的常数：
$$M = \max_{1 \leq i \leq n} \Vert T e_i \Vert$$
每个$\Vert T e_i \Vert$都是$W$中的范数，是有限实数，所以$M$肯定存在且有限。

接下来，我们需要把$\Vert v \Vert$和系数的绝对值和$\sum_{i=1}^n |a_i|$联系起来。这里用到有限维空间的紧性：
考虑$V$中的集合$S = \left{ \sum_{i=1}^n a_i e_i \mid \sum_{i=1}^n |a_i| = 1 \right}$，这个集合是$V$中的有界闭集（因为它是$\mathbb{F}^{n$中$l_1$单位球在基映射下的像，而$\mathbb{F}}n$中的有界闭集是紧的，基映射是线性同构，所以$S$是紧集）。

原范数$\Vert \cdot \Vert$作为$V$上的连续函数，在紧集$S$上能取到最小值，设这个最小值为$m = \min_{v \in S} \Vert v \Vert$。因为$S$中的向量都不是零向量，所以$m > 0$。

对于任意非零向量$v = \sum a_i e_i$，令$u = \frac{v}{\sum_{i=1}^n |a_i|}$，显然$u \in S$，所以$\Vert u \Vert \geq m$，即：
$$\left\Vert \frac{v}{\sum |a_i|} \right\Vert \geq m \implies \sum_{i=1}^n |a_i| \leq \frac{1}{m} \Vert v \Vert$$
记$C = \frac{1}{m}$，就得到了系数和与原范数的关系：$\sum |a_i| \leq C \Vert v \Vert$。

步骤3：用三角不等式估计$\Vert Tv \Vert$ #

利用$T$的线性性和范数的三角不等式：
$$\Vert Tv \Vert = \left\Vert T\left( \sum_{i=1}^n a_i e_i \right) \right\Vert = \left\Vert \sum_{i=1}^n a_i T e_i \right\Vert \leq \sum_{i=1}^n |a_i| \cdot \Vert T e_i \Vert$$
代入$M$的定义，再结合刚才得到的系数和估计：
$$\Vert Tv \Vert \leq M \sum_{i=1}^n |a_i| \leq M C \Vert v \Vert$$

步骤4：验证0点连续性 #

现在对任意$\epsilon > 0$，取$\delta = \frac{\epsilon}{M C}$。当$\Vert v \Vert < \delta$时：
$$\Vert Tv \Vert \leq M C \Vert v \Vert < M C \cdot \frac{\epsilon}{M C} = \epsilon$$
这就满足了0点连续的定义，因此$T$是连续的。

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