给定平面三点及法线，求解满足(Pᵢ−P₀)·n=0的点P₀

嘿，这个问题其实不难，咱们从几何意义和代数推导两方面来捋清楚怎么找P₀：

先理解条件的几何意义 #

式子 (Pᵢ - P₀)·n = 0 表示的是：向量 PᵢP₀（从P₀指向Pᵢ的向量）和平面的法线 n 是垂直的。而因为所有Pᵢ都是构成平面的点，所以满足这个条件的P₀必然是这个平面上的任意一点——毕竟平面内任意两点的连线都和法线垂直，这是平面的基本性质嘛。

代数推导验证 #

咱们把点积展开，就能更直观地看到要求：
(Pᵢ - P₀)·n = Pᵢ·n - P₀·n = 0
整理后得到：
P₀·n = Pᵢ·n

这意味着，P₀和法线n的点积，必须等于平面上任意一个已知点Pᵢ和n的点积。只要满足这个等式的点，就是符合要求的P₀。

具体求解步骤 #

步骤1：先验证法线和已知点的一致性（重要！） #

因为三个Pᵢ是平面上的点，所以任意两个点的连线向量都应该和法线n垂直，比如：
(P₂ - P₁)·n = 0
(P₃ - P₁)·n = 0
如果这两个等式不成立，说明给定的法线n和三个点确定的平面不匹配，得先修正这个矛盾哦。

步骤2：快速找到P₀的方法 #

最简单的方式就是直接取已知的三个点中的任意一个作为P₀，比如拿P₁来用：

• 代入条件验证：(Pᵢ - P₁)·n，因为Pᵢ和P₁都在平面上，它们的连线向量是平面内的向量，必然和法线n垂直，点积结果肯定是0，完全满足要求。

步骤3：通用解法（如果需要自定义P₀） #

如果想要自己构造一个P₀，而不是用已知点，可以用平面的一般式来推导：
假设法线n=(a,b,c)，已知平面上一点P₁=(x₁,y₁,z₁)，那么平面的方程可以写成：
a(x - x₁) + b(y - y₁) + c(z - z₁) = 0
整理成标准形式：
ax + by + cz = ax₁ + by₁ + cz₁

你可以随便给x和y赋值（只要c≠0），然后解出z：
z = (ax₁ + by₁ + cz₁ - ax - by)/c
这样就能得到一个符合要求的P₀点了。

举个实际例子 #

比如已知三个点：P₁=(1,0,0)、P₂=(0,1,0)、P₃=(0,0,1)，法线n=(1,1,1)。
咱们取P₁作为P₀，验证一下：

• (P₂-P₀)·n = (-1,1,0)·(1,1,1) = -1 + 1 + 0 = 0 ✔️
• (P₃-P₀)·n = (-1,0,1)·(1,1,1) = -1 + 0 + 1 = 0 ✔️

完全符合条件！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kevinz315