如何证明$(a,b)\times(c,d)$是欧几里得度量下$\mathbb{R}^2$中的开集？
嘿，这个证明其实就是紧扣开集的核心定义来走，咱们一步步拆解清楚：
首先明确核心依据：
- 开集的定义：如果集合 $U \subset \mathbb{R}^2$ 满足「对任意 $x \in U$，都存在一个正数 $\epsilon$，使得以 $x$ 为中心、$\epsilon$ 为半径的开球 $B_\epsilon(x)$ 完全包含在 $U$ 里」，那 $U$ 就是开集。
- $\mathbb{R}^2$ 的欧几里得度量：两点 $x=(x_1,x_2)$ 和 $y=(y_1,y_2)$ 的距离是 $d_2(x,y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}$，对应的开球就是 $B_\epsilon(x) = { y \in \mathbb{R}^2 \mid d_2(x,y) < \epsilon }$。
接下来开始正式证明：
任取目标集合里的一点
随便挑一个点 $x=(x_1,x_2) \in (a,b)\times(c,d)$，这意味着：- $a < x_1 < b$，所以 $x_1$ 到区间 $(a,b)$ 左端点的距离是 $x_1 - a$，到右端点的距离是 $b - x_1$，咱们取这两个距离里的最小值，记为 $\delta_1 = \min(x_1 - a, b - x_1)$，显然 $\delta_1 > 0$；
- 同理，$c < x_2 < d$，取 $x_2$ 到 $(c,d)$ 两端的最小距离 $\delta_2 = \min(x_2 - c, d - x_2)$，同样 $\delta_2 > 0$。
选择合适的开球半径
令 $\epsilon = \min(\delta_1, \delta_2)$，显然 $\epsilon > 0$，现在咱们要证明这个半径的开球 $B_\epsilon(x)$ 完全包含在 $(a,b)\times(c,d)$ 里。验证开球内的点都在目标集合中
任取 $y=(y_1,y_2) \in B_\epsilon(x)$，根据开球的定义，$d_2(x,y) < \epsilon$。
这里利用欧几里得度量的一个简单性质：每个分量的差的绝对值都不超过两点的欧几里得距离，也就是：
$$|y_1 - x_1| \leq \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2} = d_2(x,y) < \epsilon \leq \delta_1$$
展开这个不等式：- $y_1 > x_1 - \delta_1 \geq x_1 - (x_1 - a) = a$
- $y_1 < x_1 + \delta_1 \leq x_1 + (b - x_1) = b$
这就说明 $y_1 \in (a,b)$。
用同样的方法看第二个分量：
$$|y_2 - x_2| \leq d_2(x,y) < \epsilon \leq \delta_2$$
展开后可得：- $y_2 > x_2 - \delta_2 \geq x_2 - (x_2 - c) = c$
- $y_2 < x_2 + \delta_2 \leq x_2 + (d - x_2) = d$
所以 $y_2 \in (c,d)$。
综上，$y=(y_1,y_2) \in (a,b)\times(c,d)$，也就是说开球 $B_\epsilon(x)$ 里的每一个点都在目标集合中。
结论
因为我们对任意的 $x \in (a,b)\times(c,d)$ 都找到了这样的 $\epsilon$，完全满足开集的定义，所以 $(a,b)\times(c,d)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 欧几里得度量下的开集。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mr. President
