求助：完善证明B(T)维数等于集合T元素个数的符号表述

先澄清一个关键点：这个命题仅当$T$是有限集合时成立——如果$T$是无限集，$T$上全体有界函数构成的空间$\mathbf{B}(T)$（即$l^{\infty(T)$）的Hamel维数是$2}{|T|}$，远大于$|T|$。我们用教授提示的指示函数方法，针对有限$T$完成严谨证明：

1. 基础定义与空间性质 #

设$T$是任意有限非空集合，记$\mathbf{B}(T)$为**$T$上全体有界实值（或复值，可按需调整）函数的集合**。按逐点定义函数加法和数乘：

• 对任意$f,g \in \mathbf{B}(T)$，$(f+g)(t) = f(t)+g(t)$，$\forall t \in T$
• 对任意$f \in \mathbf{B}(T)$，$k \in \mathbb{R}$（或$\mathbb{C}$），$(kf)(t) = k \cdot f(t)$，$\forall t \in T$

显然$\mathbf{B}(T)$是一个线性空间，且因为$T$有限，所有函数天然有界（有限个函数值的最大值存在）。

2. 构造候选基：指示函数族 #

对每个$t \in T$，定义指示函数$\chi_t: T \to \mathbb{R}$为：
$$
\chi_t(s) =
\begin{cases}
1, & s = t \
0, & s \neq t
\end{cases}
$$
记这个函数族为$\mathcal{F} = {\chi_t \mid t \in T}$。接下来我们证明$\mathcal{F}$是$\mathbf{B}(T)$的一组Hamel基（即线性无关且张成整个空间）。

2.1 证明$\mathcal{F}$线性无关 #

假设存在$T$中不同的元素$t_1,t_2,\dots,t_n$（因为$T$有限，$n=|T|$），以及实数$a_1,a_2,\dots,a_n$，使得：
$$
a_1\chi_{t_1} + a_2\chi_{t_2} + \dots + a_n\chi_{t_n} = 0
$$
这里的$0$是零函数（对所有$s \in T$，函数值为0）。

任取其中一个$t_i$，代入上式左侧：
$$
\left(\sum_{j=1}^n a_j\chi_{t_j}\right)(t_i) = a_i \cdot \chi_{t_i}(t_i) + \sum_{j \neq i} a_j \cdot \chi_{t_j}(t_i) = a_i \cdot 1 + 0 = a_i
$$
而右侧零函数在$t_i$处的值为0，因此$a_i=0$。由于$t_i$是任意选取的，所有系数都为0，这就证明了$\mathcal{F}$是线性无关的。

2.2 证明$\mathcal{F}$张成$\mathbf{B}(T)$ #

任取$f \in \mathbf{B}(T)$，考虑有限线性组合：
$$
\sum_{t \in T} f(t)\chi_t
$$
对任意$s \in T$，代入上式计算函数值：
$$
\left(\sum_{t \in T} f(t)\chi_t\right)(s) = f(s)\chi_s(s) + \sum_{t \neq s} f(t)\chi_t(s) = f(s) \cdot 1 + 0 = f(s)
$$
这说明$\sum_{t \in T} f(t)\chi_t = f$，即任意$f \in \mathbf{B}(T)$都可以表示为$\mathcal{F}$中元素的有限线性组合。因此$\mathcal{F}$张成$\mathbf{B}(T)$。

3. 最终结论 #

因为$\mathcal{F}$是$\mathbf{B}(T)$的Hamel基，且$|\mathcal{F}|=|T|$，所以$\mathbf{B}(T)$的维数等于$T$的元素个数。

补充：无限集合$T$的情况 #

如果$T$是无限集，$\mathbf{B}(T)$的Hamel维数是$2^{|T|}$，远大于$|T|$——此时指示函数族$\mathcal{F}$只是线性无关子集，但无法张成整个空间（比如存在有界函数在无限多个点上非零，无法用有限个指示函数的线性组合表示）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jpugliese