我的∫₋₁⁵(1+3x)dx黎曼和计算过程存在哪些错误？

嘿，我瞅见你在用黎曼和求定积分的时候卡壳了，咱们来揪出哪里出问题了～

你在展开求和后的第一步就犯了个小疏漏：
当计算$\sum_{i=1}^{n}\frac{-12}{n}$时，这个求和是n个$\frac{-12}{n}$相加，正确结果应该是$n \times \frac{-12}{n} = -12$，但你写成了$\frac{-12}{n}$——这就是导致后续计算出错的关键！

咱们重新走一遍整个步骤，确保每一步都准确：

1. 先确定基础参数：

   • 积分区间是$[a,b] = [-1,5]$，所以$\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{6}{n}$，这部分你算对了。
   • 取右端点$x_i = a + i\Delta x = -1 + \frac{6i}{n}$，代入$f(x)=1+3x$得到$f(x_i) = -2 + \frac{18i}{n}$，这部分也没问题。

2. 展开黎曼和并拆分求和项：
   $$
   \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(-2 + \frac{18i}{n}\right)\times\frac{6}{n} = \lim_{n\to\infty}\left( \sum_{i=1}^{n}\frac{-12}{n} + \sum_{i=1}^{{n}\frac{108i}{n}2} \right)
   $$

3. 分别计算两个求和式：

   • 第一个求和：$\sum_{i=1}^{n}\frac{-12}{n} = \frac{-12}{n} \times n = -12$（这里就是你之前出错的地方）
   • 第二个求和：利用等差数列求和公式$\sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$，可得：
     $$\sum_{i=1}^{{n}\frac{108i}{n}2} = \frac{108}{n^2} \times \frac{n(n+1)}{2} = 54 \times \frac{n+1}{n}$$

4. 代入求极限：
   $$
   = \lim_{n\to\infty}\left( -12 + 54\times\frac{n+1}{n} \right) = \lim_{n\to\infty}\left( -12 + 54\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right)
   $$
   当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}$趋近于0，所以最终结果是：
   $$
   -12 + 54 = 42
   $$

咱们用定积分基本公式来验证一下，确保结果正确：
$$
\int_{-1}^{5}(1+3x)dx = \left[ x + \frac{3}{2}x^2 \right]_{-1}^{5} = (5 + \frac{3}{2}\times25) - (-1 + \frac{3}{2}\times1) = 42.5 - 0.5 = 42
$$
和黎曼和计算的结果一致，说明修正后的步骤是对的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Andres Romero