含积分的不等式证明求助：连续函数积分平方相关不等式求证

别担心，我来一步步带你把这个证明走通，其实提示已经把最核心的思路抛给你了，咱们只需要把它拆解开逐步推导就行！

已知函数$f$在区间$[0,\infty)$上连续，且$t>0$，我们需要证明：
$$\int_0^t(f(x))2 dx\geq \frac{1}{t} \left(\int_0^t f(x)dx\right)^2$$

核心思路：利用平方积分的非负性 #

提示里给出的积分$\displaystyle \int_0^t \left(f(x)-\frac{1}{t}\int_0^tf(x) dx \right)^2dx\geq 0$是关键——因为任何实数的平方都是非负的，而$f$是连续函数，所以这个平方的积分必然大于等于0，这是整个证明的起点。

步骤1：展开平方项 #

先把被积函数的平方展开，直接用完全平方公式：
$$\left(f(x)-\frac{1}{t}\int_0^tf(x) dx \right)^2 = [f(x)]^2 - 2f(x)\cdot\frac{1}{t}\int_0^tf(x) dx + \left(\frac{1}{t}\int_0^tf(x) dx\right)^2$$

步骤2：逐项积分（利用积分的线性性） #

积分具有线性性，也就是可以逐项拆分积分，我们对展开后的式子在$[0,t]$上积分：
$$\int_0^t [f(x)]^2 dx - \frac{2}{t}\int_0^tf(x) dx \cdot \int_0^t f(x) dx + \frac{1}{t^{2}\left(\int_0}tf(x) dx\right)^2 \cdot \int_0^t 1 dx \geq 0$$

这里要注意两个关键点：

• $\frac{1}{t}\int_0^tf(x) dx$是一个与x无关的常数（积分完之后就没有变量x了），所以可以提到积分符号外面；
• 第三项里的$\int_0^t 1 dx$就是区间$[0,t]$的长度，结果为$t$。

步骤3：化简每一项 #

现在我们把每一项都化简清楚：

1. 第一项就是我们要证的不等式左边：$\int_0^t [f(x)]^2 dx$
2. 第二项化简后是：$-\frac{2}{t}\left(\int_0^tf(x) dx\right)^2$（两个相同的积分相乘就是积分的平方）
3. 第三项代入$\int_0^t 1 dx = t$后，变成：$\frac{1}{t^{2}\left(\int_0}tf(x) dx\right)^2 \cdot t = \frac{1}{t}\left(\int_0^tf(x) dx\right)^2$

步骤4：合并同类项并整理 #

把化简后的三项代入原不等式，合并后面两个同类项：
$$-\frac{2}{t}\left(\int_0^tf(x) dx\right)^2 + \frac{1}{t}\left(\int_0^tf(x) dx\right)^2 = -\frac{1}{t}\left(\int_0^tf(x) dx\right)^2$$

这样原不等式就变成：
$$\int_0^t [f(x)]^2 dx - \frac{1}{t}\left(\int_0^tf(x) dx\right)^2 \geq 0$$

最后把右边的项移到不等号右侧，就得到了我们要证明的结论：
$$\int_0^t(f(x))2 dx\geq \frac{1}{t} \left(\int_0^t f(x)dx\right)^2$$

补充：等号成立的条件 #

这里可以额外提一句，等号当且仅当$f(x)$在$[0,t]$上是常数函数时成立——因为平方积分等于0意味着被积函数在区间上处处为0（因为f连续），也就是$f(x) = \frac{1}{t}\int_0^tf(x) dx$，这说明f是一个常数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user122049