证明：可逆3阶复方阵A满足$P_{A^{-1}}(x)=\frac{x^{3}}{P_A(0)}P_A(\frac{1}{x})$

咱们来一步步搞定这个问题：已知$A$是可逆3阶复方阵（$A\in Mat_3(\mathbb{C})$），要证明对所有$x\neq0$，有：
$$P_{A^{{-1}}(x)=\frac{x}{3}}{P_A(0)}P_A\left(\frac{1}{x}\right)$$

第一步：写出$A$的特征多项式展开式 #

根据凯莱-哈密顿定理，3阶方阵$A$的特征多项式可以展开成这样：
$$P_{A}(x) = x^{3} - \mathrm{tr}(A)x^{2} + \mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A))x - \det(A)$$
这里$\mathrm{tr}(M)$是矩阵$M$的迹（主对角线元素之和），$\mathrm{adj}(A)$是$A$的伴随矩阵，$\det(A)$是$A$的行列式，都是线性代数里的基础概念~

第二步：计算$P_A(0)$和$P_A(1/x)$ #

• 直接把$x=0$代入特征多项式，就能得到：
  $$P_A(0)=-\det(A)$$
  因为$A$是可逆矩阵，所以$\det(A)\neq0$，这一步完全没问题，不会出现分母为0的情况。
• 再把$x$换成$1/x$（注意题目明确了$x\neq0$），代入后得到：
  $$P_A\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^{3}-\mathrm{tr}(A)\frac{1}{x}2}+\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A))\frac{1}{x}-\det(A)$$

第三步：展开计算$\frac{x^3}{P_A(0)}P_A\left(\frac{1}{x}\right)$ #

把$P_A(0)=-\det(A)$代入进去，咱们一步步展开计算：
$$
\begin{align*}
\frac{x^{3}{P_A(0)}P_A\left(\frac{1}{x}\right)&=\frac{x}3}{-\det(A)}\left(\frac{1}{x^{3}-\mathrm{tr}(A)\frac{1}{x}2}+\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A))\frac{1}{x}-\det(A)\right)\
&=-\frac{1}{\det(A)} + \frac{\mathrm{tr}(A)}{\det(A)}x - \frac{\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A))}{\det(A)}x^2 + x^3\
&=x^3 - \frac{\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A))}{\det(A)}x^2 + \frac{\mathrm{tr}(A)}{\det(A)}x - \frac{1}{\det(A)}
\end{align*}
$$

第四步：写出$A^{-1}$的特征多项式 #

咱们知道可逆矩阵的逆矩阵公式：$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\mathrm{adj}(A)$，基于这个可以推导几个关键量：

• $A^{{-1}$的迹：$\mathrm{tr}(A}{-1})=\mathrm{tr}\left(\frac{1}{\det(A)}\mathrm{adj}(A)\right)=\frac{\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A))}{\det(A)}$
• $A^{{-1}$的行列式：$\det(A}{-1})=\frac{1}{\det(A)}$
• $A^{{-1}$的伴随矩阵的迹：$\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A}{-1}))=\mathrm{tr}\left(A\cdot\frac{1}{\det(A)}\right)=\frac{\mathrm{tr}(A)}{\det(A)}$（因为$\mathrm{adj}(A^{-1})=(A{-1})^{-1}\det(A{-1})=A\cdot\frac{1}{\det(A)}$）

把这些代入3阶矩阵的特征多项式标准形式，$A^{-1}$的特征多项式就是：
$$P_{A^{-1}}(x)=x3 - \mathrm{tr}(A^{-1})x2 + \mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A^{-1}))x - \det(A^{-1})$$
替换成咱们刚才推导的结果，就是：
$$P_{A^{-1}}(x)=x3 - \frac{\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A))}{\det(A)}x^2 + \frac{\mathrm{tr}(A)}{\det(A)}x - \frac{1}{\det(A)}$$

第五步：对比两边，完成证明 #

把第三步得到的$\frac{x^{3}{P_A(0)}P_A\left(\frac{1}{x}\right)$展开式，和第四步得到的$P_{A}{-1}}(x)$对比一下，完全一模一样！所以原恒等式就证明成立啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rcoder