两曲面交线在指定点处的切向量求解方法及实例

嘿，我来一步步给你理清楚怎么求曲线C在点$P=(2,-1,5)$处的切向量哈～

首先明确问题：我们有两个相交曲面

• 曲面1：旋转抛物面 $z=x^2 + y^2$
• 曲面2：二次曲面 $xy + \frac{2z}{5}=0$
  它们的交线就是曲线C，现在要找C在P点的切向量。

方法一：隐函数求导法 #

这就是你提到的思路，具体步骤如下：

1. 代入消元得到投影曲线：把曲面1的$z=x^2 + y^2$代入曲面2的方程，得到xy平面上的投影曲线方程：
   $$xy + \frac{2(x^2 + y^2)}{5} = 0$$
2. 对x求隐式导数（把y看作x的函数）：两边同时对x求导：
   $$y + x y' + \frac{2}{5}(2x + 2y y') = 0$$
3. 整理求解y'：把含y'的项移到一边，其他项移到另一边：
   $$y'(x + \frac{4y}{5}) = -y - \frac{4x}{5}$$
   代入点P的$x=2, y=-1$：
   $$y'(2 + \frac{4*(-1)}{5}) = -(-1) - \frac{42}{5}$$
   计算得：
   $$y'\frac{6}{5} = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$$
   解得：$y' = -\frac{1}{2}$
4. 求z对x的导数：因为$z=x^2 + y^2$，对x求导得$z' = 2x + 2y y'$，代入x=2,y=-1,y'=-1/2：
   $$z' = 4 + 2*(-1)*(-\frac{1}{2}) = 5$$
5. 得到切向量：切向量可以表示为$(1, y', z')$，也就是$(1, -\frac{1}{2}, 5)$，为了方便可以乘以2消去分数，得到切向量$\boldsymbol{(2, -1, 10)}$（它的任意非零倍数也都是切向量）。

方法二：利用曲面法向量叉乘 #

曲线C的切向量同时垂直于两个曲面在P点的法向量，所以我们可以先求两个曲面的法向量，再做叉乘得到切向量：

1. 求曲面1的法向量：曲面1的方程可写成$F(x,y,z)=x^2 + y^2 - z=0$，梯度就是法向量：
   $$\nabla F = (2x, 2y, -1)$$
   代入P点得：$\nabla F|_P = (4, -2, -1)$
2. 求曲面2的法向量：曲面2的方程写成$G(x,y,z)=xy + \frac{2z}{5}=0$，梯度为：
   $$\nabla G = (y, x, \frac{2}{5})$$
   代入P点得：$\nabla G|_P = (-1, 2, \frac{2}{5})$
3. 计算叉乘：两个法向量的叉乘就是曲线的切向量，用行列式计算：
   $$\nabla F × \nabla G = \begin{vmatrix}
   \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \
   4 & -2 & -1 \
   -1 & 2 & \frac{2}{5}
   \end{vmatrix}$$
   展开计算：
   • $\boldsymbol{i}$分量：$(-2)*\frac{2}{5} - (-1)*2 = -\frac{4}{5} + 2 = \frac{6}{5}$
   • $\boldsymbol{j}$分量：$-(4*\frac{2}{5} - (-1)*(-1)) = -(\frac{8}{5} - 1) = -\frac{3}{5}$
   • $\boldsymbol{k}$分量：$42 - (-2)(-1) = 8 - 2 = 6$
     得到叉乘结果$(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5}, 6)$，乘以5消去分数得$(6, -3, 30)$，再除以3简化就是$\boldsymbol{(2, -1, 10)}$，和方法一结果一致，验证了正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者dyuta