过原点且与两直线相切的圆：求证半径为指定方程的根及求解疑问

首先，我得指出你两处关键的错误：

• 错误设定了圆心的纵坐标：你直接用了$(1-r,2r-1)$作为圆心，但实际上从“圆过原点”和“与$x=1$相切”这两个条件，应该推导圆心纵坐标的平方是$2r-1$，而不是直接等于$2r-1$；
• 距离公式应用错误：你把圆心到直线的距离写成了等于$r^2$，但实际上距离应该等于半径$r$，这是导致结果不符的核心原因。

接下来我们一步步正确推导：

设圆的半径为$r$，圆心坐标为$(a,b)$，根据已知条件列出三个等式：

1. 与直线$x=1$相切：圆心到$x=1$的距离等于半径，因为圆过原点，圆心必然在$x=1$左侧（否则圆心在右侧的话，到原点的距离会大于半径，矛盾），所以$1 - a = r$，即$a = 1 - r$；
2. 过原点：圆心到原点的距离等于半径，即$\sqrt{a^2 + b^2} = r$，平方后得$a^2 + b^2 = r^2$；
3. 与直线$x+y=2$相切：圆心到该直线的距离等于半径，即$\frac{|a + b - 2|}{\sqrt{2}} = r$。

把$a=1-r$代入第二个等式：
$$(1-r)^2 + b^2 = r^2$$
展开化简：
$$1 - 2r + r^2 + b^2 = r^2 \implies b^2 = 2r - 1$$
这里可以得出$r \geq \frac{1}{2}$，否则$b^2$为负数，无意义。

再把$a=1-r$代入第三个等式，去掉绝对值（因为$r+1 > \sqrt{2r-1}$，所以绝对值内的表达式为负，去掉后取相反数）：
$$\frac{|(1-r) + b - 2|}{\sqrt{2}} = r \implies |b - r - 1| = r\sqrt{2} \implies r + 1 - b = r\sqrt{2}$$
整理得：
$$b = 1 + r(1 - \sqrt{2})$$

现在把这个$b$代入$b^2 = 2r - 1$：
$$\left[1 + r(1 - \sqrt{2})\right]^2 = 2r - 1$$
展开左边：
$$1 + 2r(1 - \sqrt{2}) + r^2(1 - \sqrt{2})^2 = 2r - 1$$
计算$(1 - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{2}$，代入后继续化简：
$$1 + 2r - 2\sqrt{2}r + (3 - 2\sqrt{2})r^2 = 2r - 1$$
两边减去$2r$，再移项整理：
$$(3 - 2\sqrt{2})r^2 - 2\sqrt{2}r + 2 = 0$$

这样就得到了题目要求证明的方程，说明圆的半径确实是这个方程的根。

另外，你之前算出的$r=2(\sqrt{2}-1)$，其实是错误联立条件得到的结果——当我们尝试另一种绝对值情况（$b = - \sqrt{2r-1}$）时，代入距离等式会得到$r+1 + \sqrt{2r-1} = r\sqrt{2}$，左边显然大于右边（因为$r>0$），所以这个情况无解。现在通过正确的推导，就能得到题目要求的方程啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jacky