C¹类二元函数隐函数存在条件及导数求解技术问询

咱们来一步步解决这个隐函数定理相关的问题：

首先，我们的目标是从方程组 ( G(x,y,u)=f(x,y)+u^2=0 ) 和 ( H(x,y,u)=ux+3y^3+u3=0 ) 中，在点 ( (x_0,y_0,u_0)=(2,-1,1) ) 附近解出 ( x=g(y) ) 和 ( u=h(y) ) 这两个( C^1 )类函数，满足 ( g(-1)=2 )、( h(-1)=1 )。

根据隐函数定理，我们需要构造关于因变量 ( x,u ) 的雅可比矩阵，计算其行列式在给定点的值，只要行列式不为零，就能保证这样的隐函数存在。

先写出雅可比矩阵 ( \frac{\partial(G,H)}{\partial(x,u)} )：
[
\begin{pmatrix}
\frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial u} \
\frac{\partial H}{\partial x} & \frac{\partial H}{\partial u}
\end{pmatrix}
]
分别计算每个偏导数：

• ( \frac{\partial G}{\partial x} = f_x(x,y) )，( \frac{\partial G}{\partial u}=2u )
• ( \frac{\partial H}{\partial x}=u )，( \frac{\partial H}{\partial u}=x+3u^2 )

代入点 ( (2,-1,1) ) 的值：

• ( \frac{\partial G}{\partial x}\bigg|{(2,-1,1)} = f_x(2,-1) )，( \frac{\partial G}{\partial u}\bigg|{(2,-1,1)}=2\times1=2 )
• ( \frac{\partial H}{\partial x}\bigg|{(2,-1,1)}=1 )，( \frac{\partial H}{\partial u}\bigg|{(2,-1,1)}=2+3\times1^2=5 )

计算该矩阵的行列式：
[
\det\left(\frac{\partial(G,H)}{\partial(x,u)}\right)\bigg|_{(2,-1,1)} = f_x(2,-1)\times5 - 2\times1 = 5f_x(2,-1)-2
]

另外，我们先验证给定点满足原方程组：

• ( G(2,-1,1)=f(2,-1)+1^2=-1+1=0 )
• ( H(2,-1,1)=1\times2+3\times(-1)³⁺¹3=2-3+1=0 )

所以，只要行列式不为零，也就是 ( 5f_x(2,-1)-2\neq0 )，即 ( \boldsymbol{f_x(2,-1)\neq\frac{2}{5}} )，就能保证存在满足条件的 ( C^1 ) 函数 ( x=g(y) ) 和 ( u=h(y) )。

已知 ( Df(2,-1)=[1\ -3] )，也就是 ( f_x(2,-1)=1 )，( f_y(2,-1)=-3 )。我们对原方程组关于 ( y ) 隐式求导（注意 ( x=g(y) )、( u=h(y) ) 都是 ( y ) 的函数）：

1. 对 ( G(x,y,u)=0 ) 求导：
   [
   f_x\cdot g'(y) + f_y\cdot 1 + 2u\cdot h'(y)=0
   ]
   代入 ( y=-1 )、( x=2 )、( u=1 )、( f_x=1 )、( f_y=-3 )，得到：
   [
   1\cdot g'(-1) + (-3) + 2\times1\cdot h'(-1)=0 \implies g'(-1)+2h'(-1)=3 \tag{1}
   ]

2. 对 ( H(x,y,u)=0 ) 求导：
   [
   h'(y)\cdot x + u\cdot g'(y) + 9y^2 + 3u^2\cdot h'(y)=0
   ]
   代入 ( y=-1 )、( x=2 )、( u=1 )，得到：
   [
   h'(-1)\times2 + 1\cdot g'(-1) + 9\times(-1)^2 + 3\times1^2\cdot h'(-1)=0
   ]
   整理后：
   [
   g'(-1)+2h'(-1)+9+3h'(-1)=0 \implies g'(-1)+5h'(-1)=-9 \tag{2}
   ]

用方程(2)减去方程(1)：
[
(g'(-1)+5h'(-1))-(g'(-1)+2h'(-1))=-9-3 \implies 3h'(-1)=-12 \implies \boldsymbol{h'(-1)=-4}
]

把 ( h'(-1)=-4 ) 代入方程(1)：
[
g'(-1)+2\times(-4)=3 \implies g'(-1)=3+8=11 \implies \boldsymbol{g'(-1)=11}
]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user425181