光滑函数积分有界性问题：能否用u的幂次界定指定积分？

嘿，这个问题挺有意思的！咱们结合不等式估计和具体例子来一步步分析：

核心结论 #

当$u\geq1$为光滑函数时：

• 若存在$\epsilon>0$使得$\int_{\mathbb{R}^d}u{p+\epsilon}dx < \infty$，则可以用$u$的$p+\epsilon$次幂的积分来界定目标积分；
• 若$\int_{\mathbb{R}^d}uq dx = \infty$对所有$q>p$成立，则无法用单一的$u$的幂次积分来界定目标积分（此时目标积分也可能发散）。

具体推导 #

首先注意到$u\geq1$，因此$\log u\geq0$，目标积分是非负的，这给我们的估计带来了便利。

对于任意$\epsilon>0$，我们可以利用对数函数的增长特性：存在仅依赖$\epsilon$的常数$C_\epsilon>0$，使得对所有$t\geq1$，有
$$\log t \leq C_\epsilon t^\epsilon$$
这个不等式的合理性很好理解：当$t\to\infty$时，$t^\epsilon$的增长速度远快于$\log t$，因此总能找到足够大的$C_\epsilon$让不等式成立。

把这个不等式代入目标积分，直接就能得到：
$$\int_{\mathbb{R}^d}up\log u,dx \leq C_\epsilon \int_{\mathbb{R}^d}up \cdot u^\epsilon dx = C_\epsilon \int_{\mathbb{R}^d}u{p+\epsilon},dx$$
这就证明了：只要$u$的$p+\epsilon$次幂可积，就能用这个积分来控制目标积分。

反例说明（同幂次无法控制） #

如果尝试用$u^p$的积分来控制，是绝对行不通的。咱们构造一个简单的例子：
取$d=1$，对任意大的$N>0$，定义
$$u(x) = \begin{cases}
e^N, & |x| \leq \frac{1}{N^2} \
1, & \text{其他}
\end{cases}$$
显然$u\geq1$，而且我们可以用光滑化算子（比如 mollifier）处理边界，让它满足光滑性要求。此时：
$$\int_{\mathbb{R}}u^p dx = e^{pN} \cdot \frac{2}{N^2}$$
$$\int_{\mathbb{R}}u^p\log u dx = e^{pN} \cdot N \cdot \frac{2}{N^2} = \frac{2e^{pN}}{N}$$
计算两者的比值：
$$\frac{\int u^p\log u dx}{\int u^p dx} = N \to \infty \quad (N\to\infty)$$
这说明$\int u^p\log u dx$无法被$\int u^p dx$的常数倍控制，必须依赖更高幂次的积分。

极端情况（所有更高幂次积分都发散） #

如果对所有$q>p$，$\int_{\mathbb{R}^d}uq dx = \infty$，那目标积分也可能发散，此时自然不存在有限的幂次积分来控制它。比如取$d=1$，$u(x)=1+\frac{1}{\log(|x|+2)}$（$|x|\geq1$），此时$\log u \approx \frac{1}{\log(|x|+2)}$，$u^{p\approx1$，目标积分$\int_{\mathbb{R}}u}p\log u dx \approx \int_1^\infty \frac{1}{\log t}dt$，这个积分是发散的，而任何$q>p$的$\int u^q dx$也会发散，因此无法找到有效的控制项。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sam wolfe