求ℝ[x]中满足f(2+i)=0的多项式，即同态ev_{2+i}的核是什么？

咱们一步步来拆解这个问题：

首先，明确目标：我们要找所有实系数多项式f(x) ∈ ℝ[x]，使得f(2+i)=0，这等价于求同态ev_{2+i}: ℝ[x] → ℂ（定义为ev_{2+i}(f)=f(2+i)）的核Ker(ev_{2+i})。

核心思路：利用主理想整环（PID）的性质 #

ℝ[x]是主理想整环，也就是说它的每个理想都可以由某个首一多项式生成。对于这个问题，我们只需要找到2+i在ℝ上的极小多项式——也就是次数最低的首一实系数多项式，使得它在2+i处取值为0——那么核就是由这个极小多项式生成的主理想。

步骤1：求2+i在ℝ上的极小多项式 #

因为实系数多项式的复根是共轭成对的：如果a+bi是根，那么a-bi也必须是根。所以2+i的共轭2-i也一定是我们要找的多项式的根。

把这两个根对应的一次因式相乘：

(x - (2+i))(x - (2-i)) = x² - [(2+i)+(2-i)]x + (2+i)(2-i)

计算各项：

• 一次项系数：(2+i)+(2-i)=4，所以是-4x
• 常数项：(2+i)(2-i)=4 - i²=4+1=5（因为i²=-1）

最终得到多项式：x² - 4x + 5。

接下来验证它在ℝ上不可约：判别式Δ=(-4)² - 4×1×5=16-20=-4<0，没有实根，所以无法分解为两个实系数一次多项式的乘积，确实是极小多项式。

步骤2：确定核的结构 #

根据PID的性质，Ker(ev_{2+i})就是由x² - 4x + 5生成的主理想，也就是说：

所有满足条件的多项式f(x)都可以写成f(x) = g(x)(x² - 4x + 5)，其中g(x)是任意的实系数多项式（即g(x) ∈ ℝ[x]）。

验证这个结论的正确性 #

• 正向：如果f(x)=g(x)(x²-4x+5)，那么代入x=2+i时，(2+i)²-4(2+i)+5=0，所以f(2+i)=g(2+i)×0=0，符合条件。
• 反向：假设f(x)是满足f(2+i)=0的实系数多项式，用多项式除法把f(x)除以x²-4x+5，得到f(x)=q(x)(x²-4x+5)+r(x)，其中r(x)是次数小于2的实系数多项式（即r(x)=ax+b，a,b∈ℝ）。代入x=2+i得：

  0 = f(2+i) = q(2+i)×0 + r(2+i) = a(2+i)+b = (2a+b) + ai
  

  复数等于0意味着实部和虚部都为0，所以：
  • 虚部：a=0
  • 实部：2×0 + b=0 ⇒ b=0
    因此r(x)=0，即f(x)是x²-4x+5的倍式，符合我们的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Cataldo