求解约束下二元函数局部极值：拉格朗日方程组求解遇阻

嘿，你的拉格朗日乘数方程组列得完全没问题！问题大概率出在求解时没分情况讨论，漏掉了一些关键的解。我来一步步帮你拆解这个方程组：

你得到的方程组是：
$$
\begin{cases}
3x^2 = 2 \lambda x\
3y^2 = 2 \lambda y \
x^2+y2-1=0
\end{cases}
$$

我们可以把前两个方程变形，拆分出不同的情况来分析：

情况1：$x=0$ #

把$x=0$代入约束方程$x^2+y2=1$，可得$y^2=1$，即$y=1$或$y=-1$：

• 当$y=1$时，代入第二个方程$3y^2=2\lambda y$，得$3=2\lambda$，解得$\lambda=\frac{3}{2}$，此时$f(0,1)=0³⁺¹3=1$；
• 当$y=-1$时，代入第二个方程得$3=-2\lambda$，解得$\lambda=-\frac{3}{2}$，此时$f(0,-1)=0^3+(-1)3=-1$。

情况2：$y=0$ #

和情况1对称，把$y=0$代入约束方程得$x^2=1$，即$x=1$或$x=-1$：

• 当$x=1$时，代入第一个方程得$3=2\lambda$，$\lambda=\frac{3}{2}$，此时$f(1,0)=1³⁺⁰3=1$；
• 当$x=-1$时，代入第一个方程得$3=-2\lambda$，$\lambda=-\frac{3}{2}$，此时$f(-1,0)=(-1)³⁺⁰3=-1$。

情况3：$x≠0$且$y≠0$ #

这时候我们可以安全地把前两个方程两边分别除以$x$和$y$（因为不为0），得到：
$3x=2\lambda$ 和 $3y=2\lambda$，所以$3x=3y$，即$x=y$。

把$x=y$代入约束方程：$x^2+x2=1$，即$2x^2=1$，解得$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$x=y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$：

• 当$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\lambda=\frac{3x}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，此时$f(x,y)=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3+(\frac{\sqrt{2}}{2})}3=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$；
• 当$x=y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\lambda=\frac{3x}{2}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}$，此时$f(x,y)=(-\frac{\sqrt{2}}{2})^{3+(-\frac{\sqrt{2}}{2})}3=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx-0.707$。

总结极值 #

对比所有点的函数值：

• 局部极大值为$\boldsymbol{1}$，出现在点$(1,0)$和$(0,1)$；
• 局部极小值为$\boldsymbol{-1}$，出现在点$(-1,0)$和$(0,-1)$。

你之前可能犯的误区是：直接在第一个方程两边约掉$x$、第二个方程约掉$y$，漏掉了$x=0$或$y=0$的情况，导致没找到最大和最小的极值点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SantiMontouliu