交换p-群有限性判定：满足特定子群交为零是否为有限群？

答案是不能，我们可以构造一个无限交换p群满足题设条件。

举个最直观的例子：考虑无限初等p群，也就是每个元素的阶都是p的交换p群（比如可数无限个p阶循环群的直和 $A = \bigoplus_{i=1}^\infty C_p$，其中C_p表示p阶循环群）。

我们来一步步验证它符合题设要求：

• 首先，$A[p] = A$，因为这个群里所有元素的p倍都是0，所有元素都属于$A[p]$；
• 对于任意给定的n>1，$A[p^n] = A$（毕竟p的n次方作用在任何元素上结果都是0），那么对于每个$0 ≤ k ≤ n-1$，$p^k A[p^{k+1}] = p^k A$。而由于A是初等p群，$pA = {0}$，所以对于所有k≥1，$p^k A = {0}$；
• 把这些集合取交集，就得到 $A \cap {0} \cap {0} \cap \dots \cap {0} = {0}$，完全满足题设中的条件，但这个群显然是无限的。

其实还有更一般的无限例子：比如取A为无限多个$p^{{n-1}$阶循环群的直和，这个群里元素的阶最高是$p}{n-1}$，那么$A[p^n] = A$，且$p^{n-1}A[pn] = p^{n-1}A = {0}$，同样能让题设中的交集为{0}，同时群本身是无限的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者iskander