关于Durrett《随机过程要义》中转移矩阵平稳分布示例的逆矩阵疑问

Hey there, I totally get how Durrett’s examples can feel overwhelming when matrix inversions seem to come out of nowhere—let’s unpack this step by step, tying everything back to your core definition of a stationary distribution: if qP = q, then q is stationary.

首先：逆矩阵为什么会出现？ #

平稳分布的条件 qP = q 本质上是一个线性方程组，再加上概率分布的归一化条件（所有分量之和为1）。让我们拆解这个逻辑：

1. 把 qP = q 改写为 q(P - I) = 0，其中 I 是单位矩阵。这里 P - I 的行秩是 n-1（因为转移矩阵 P 的每行和为1，所以 P - I 的所有行加起来是全0向量），意味着这个方程组有一个自由变量。
2. 为了得到唯一解，我们加上归一化条件 Σq_i = 1，这样就得到了一个满秩的线性方程组（n 个方程，n 个未知数）。
3. 当把这个方程组整理为 Ax = b 的形式时，求解 x（也就是平稳分布 q）就可以用 x = A⁻¹b——这就是逆矩阵的直接来源：它是解线性方程组的标准工具。

举个简单例子（对应Durrett常见的两状态链） #

假设我们有一个两状态马尔可夫链，转移矩阵：

P = [[1-p, p],
     [q, 1-q]]

我们要找平稳分布 q = [q₁, q₂]：

• 从 qP = q 得到：q₁(1-p) + q₂q = q₁ 和 q₁p + q₂(1-q) = q₂
• 简化第一个方程：-q₁p + q₂q = 0，再加上归一化条件 q₁ + q₂ = 1
• 写成矩阵形式：

  [[-p, q],
   [1,  1]] * [q₁; q₂] = [0; 1]
  

这里系数矩阵的逆矩阵是：

(1/(-p - q)) * [[1, -q],
                [-1, -p]]

用逆矩阵求解后，得到 q₁ = q/(p+q)，q₂ = p/(p+q)——这就是我们熟悉的平稳分布，逆矩阵在这里直接帮我们解出了分布的分量。

Durrett中可能遇到的另一种逆矩阵：基本矩阵（Fundamental Matrix） #

在讨论吸收马尔可夫链或平均返回时间时，Durrett会用到基本矩阵 N = (I - Q)⁻¹，其中 Q 是非吸收状态之间的转移矩阵。这里逆矩阵的来源是：

• 因为非吸收状态最终会被吸收，Q^k 会随着 k 增大趋近于0，所以幂级数 I + Q + Q² + Q³ + ... 收敛，而这个级数的和就是 (I - Q)⁻¹。
• 平稳分布和平均返回时间密切相关：π_i = 1/μ_i，其中 μ_i 是状态 i 的平均返回时间，而 μ_i 可以通过基本矩阵 N 计算——这时候逆矩阵是推导平稳分布的中间工具。

核心总结 #

• 逆矩阵的本质：它要么是解平稳分布线性方程组的工具，要么是推导平稳分布相关量（如平均返回时间）的中间桥梁。
• 永远锚定你的定义：qP = q 是判断平稳分布的核心，逆矩阵只是帮助我们找到满足这个条件的 q 的数学手段，而非平稳分布本身的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathematicing