自学围道积分遇难题：求证实数k对应的积分等式

首先，你的变量替换思路是合理的，但这个积分用复平面上的单位圆围道积分会更直接——核心是构造对应的解析函数，结合欧拉公式和柯西积分公式来推导。

步骤1：关联被积函数与复指数函数 #

回忆欧拉公式：对于复数$w = u + iv$，有$e^w = e^u(\cos v + i\sin v)$。观察你的被积函数$e^{{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta)$，它恰好是复指数函数$e}{k e^{i\theta}}$的实部：
$$
e^{k e^{i\theta}} = e^{k(\cos\theta + i\sin\theta)} = e^{k\cos\theta} \cdot e^{ik\sin\theta} = e^{k\cos\theta}\left[\cos(k\sin\theta) + i\sin(k\sin\theta)\right]
$$

步骤2：构造单位圆围道积分 #

考虑复平面上的单位圆围道$C: |z|=1$，令$z = e^{i\theta}$（$\theta$从$0$到$2\pi$），则：

• $dz = i e^{i\theta} d\theta = iz d\theta$，因此$d\theta = \frac{dz}{iz}$
• $e^{i\theta} = z$，代入复指数函数得$e^{k e^{i\theta}} = e^{k z}$

现在，将$\int_{0}^{2\pi} e^{k e^{i\theta}} d\theta$转化为围道积分：
$$
\int_{0}^{2\pi} e^{k e^{i\theta}} d\theta = \oint_{C} e^{k z} \cdot \frac{dz}{iz}
$$

步骤3：用柯西积分公式计算围道积分 #

柯西积分公式指出：若$f(z)$在围道$C$内部解析，$a$是$C$内的点，则$\oint_{C} \frac{f(z)}{z - a} dz = 2\pi i \cdot f(a)$。

这里，令$f(z) = \frac{e^{k z}}{i}$，围道$C$内部的点$a=0$，显然$f(z)$在单位圆内处处解析，代入公式得：
$$
\oint_{C} \frac{e^{k z}}{iz} dz = \oint_{C} \frac{f(z)}{z - 0} dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot \frac{e^{0}}{i} = 2\pi
$$

步骤4：分离实部与虚部，得到目标积分 #

将围道积分的结果代回：
$$
\int_{0}^{2\pi} \left[ e^{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta) + i e^{k\cos\theta}\sin(k\sin\theta) \right] d\theta = 2\pi
$$

观察虚部的积分项：当$\theta$替换为$2\pi - \theta$时，$\sin(k\sin(2\pi - \theta)) = \sin(-k\sin\theta) = -\sin(k\sin\theta)$，因此虚部积分在$[0,2\pi]$上的结果为$0$。剩下的实部积分满足：
$$
\int_{0}^{2\pi} e^{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta) d\theta = 2\pi
$$

由于被积函数$e^{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta)$关于$\theta = \pi$对称（即$\theta$和$2\pi - \theta$代入后函数值相同），因此：
$$
\int_{0}^{\pi} e^{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta) d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} e^{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta) d\theta = \pi
$$

这样就完成了证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Apo