等价类性质证明问询：证[a]≠[b]时[a]∩[b]=∅

我明白你卡在等价类不等时交集为空的证明步骤上了，这部分其实用反证法结合等价关系的核心性质就能顺利解决，咱们一步步拆解：

首先先明确已知前提：

• ~是非空集合A上的等价关系，必须满足三个核心性质：
  • 自反性：对任意x∈A，都有x~x
  • 对称性：对任意x,y∈A，若x_y则必有yx
  • 传递性：对任意x,y,z∈A，若x_y且yz，则x~z
• 等价类[a]的定义是：[a] = { x ∈ A | x ~ a }

用反证法证明：若[a]≠[b]，则[a]∩[b]=∅ #

我们假设结论不成立：当[a]≠[b]时，[a]∩[b]≠∅。这意味着存在某个元素c ∈ A，同时属于[a]和[b]，也就是c ∈ [a]且c ∈ [b]。

根据等价类的定义，我们可以得到两个关系：

• c ∈ [a] ⇒ c ~ a
• c ∈ [b] ⇒ c ~ b

接下来用等价关系的性质推导矛盾：

1. 由对称性，从c ~ a可以推出a ~ c
2. 结合a ~ c和c ~ b，根据传递性，可以得到a ~ b

现在回忆你已经掌握的结论：如果a ~ b，那么[a] = [b]（快速回顾推导逻辑）：

• 任取x ∈ [a]，则x ~ a，结合a ~ b，由传递性得x ~ b，所以x ∈ [b]，即[a] ⊆ [b]
• 任取x ∈ [b]，则x ~ b，结合b ~ a（对称性），由传递性得x ~ a，所以x ∈ [a]，即[b] ⊆ [a]
• 因此[a] = [b]

但这个结论和我们最开始的假设[a] ≠ [b]完全矛盾！这说明我们一开始的假设（[a]∩[b]≠∅）是错误的，因此当[a]≠[b]时，必然有[a]∩[b] = ∅。

最终结论 #

结合你已经掌握的[a]=[b]的情况，我们可以得出：对任意a,b ∈ A，要么[a] = [b]，要么[a] ∩ [b] = ∅。

进一步验证A/~是A的划分：

• 每个等价类都是非空的：自反性保证a ∈ [a]，所以所有[a]都是非空子集
• 两两不交：我们刚证明的结论
• 并集为A：每个元素x ∈ A都属于自己的等价类[x]，所以所有等价类的并就是A

因此A/~确实是A的一个划分。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jmoore00