离散拓扑空间下$p_*(F) \simeq \prod_{s \in S} F_s$的证明问询

首先，我们先拆解核心的拓扑与层性质，一步步构造这个同构：

1. 离散空间的开集特性 #

因为$S$是离散拓扑空间，所以：

• 每个单点集${s}$都是$S$的开集；
• $X \times S$中的任意开集都可以写成$U \times T$的形式，其中$U$是$X$的开集，$T$是$S$的任意子集；
• 关键一点：$U \times S$可以分解为两两不交的开集的并：$U \times S = \coprod_{s \in S} (U \times {s})$。

2. 层在不交并上的截面性质 #

对于任意层$F$，当空间被拆成两两不交的开集${V_s}{s \in S}$时，层在并集上的截面等于各开集截面的乘积，即：
$$F\left(\coprod{s \in S} V_s\right) \cong \prod_{s \in S} F(V_s)$$
这是因为层的胶合条件在这里自动满足：任意两个$V_s \cap V_{s'} = \emptyset$，没有额外的相容性要求，每个截面就是各$V_s$上截面的“组合”，自然对应到乘积集合。

3. 拉回层$F_s$的截面解释 #

根据拉回层的定义，$F_s = i_s^*(F)$（$i_s(y)=(y,s)$是嵌入映射）。对于$X$的开集$U$，拉回层的截面为：
$$F_s(U) = F(i_s(U)) = F(U \times {s})$$
（因为$i_s(U)$就是$U \times {s}$，而离散空间下它是$X \times S$的开集）

4. 构造同构并验证 #

现在看直接像层$p_(F)$的截面：对于$X$的开集$U$，
$$p_(F)(U) = F(p^{-1}(U)) = F(U \times S)$$
结合前面的结论，我们可以得到：
$$F(U \times S) \cong \prod_{s \in S} F(U \times {s}) = \prod_{s \in S} F_s(U)$$
这就给出了截面层面的同构。接下来只需验证它和层的限制映射交换：

• 对于$X$中开集$V \subseteq U$，$p_*(F)$的限制映射是把$U \times S$上的截面限制到$V \times S$；
• 乘积层$\prod_{s \in S} F_s$的限制映射是每个分量$F_s(U) \to F_s(V)$，也就是把$U \times {s}$上的截面限制到$V \times {s}$；
  显然这两个限制操作完全对应，因此这个同构是层同构。

关于你提到的余极限与乘积交换的问题 #

其实这个命题里不需要用到滤过余极限的交换性——因为$S$是离散的，$U \times S$是不交并，而非滤过并。层在不交并上的截面直接就是各分支截面的乘积，这是层的基本性质，和滤过范畴无关。如果是滤过并的场景，层截面才会对应余极限，但这里的情况完全不同哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jpatrick