随机变量序列问题求助：Beta分布变换后分布及事件概率近似

一、推导$Y_n=-n\log(X_n)$的分布 #

首先，先明确$X_n \sim Beta(n,1)$的概率密度函数。Beta分布$Beta(a,b)$的密度形式为：
$$f_X(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x){b-1}, \quad x \in [0,1]$$
当$a=n$，$b=1$时，$\Gamma(n+1)=n!$，$\Gamma(n)=(n-1)!$，$\Gamma(1)=1$，代入后化简得：
$$f_{X_n}(x) = n x^{n-1}, \quad x \in [0,1]$$

接下来做变量替换：$Y_n = -n\log(X_n)$，先解出$X_n$关于$Y_n$的表达式：
$$X_n = e^{-Y_n/n}$$
然后计算$X_n$对$Y_n$的导数的绝对值（这是概率密度变换的核心步骤）：
$$\left|\frac{dX_n}{dY_n}\right| = \left| -\frac{1}{n}e^{-Y_n/n} \right| = \frac{1}{n}e^{-Y_n/n}$$

根据随机变量函数的密度变换公式$f_{Y_n}(y) = f_{X_n}(x(y)) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right|$，代入上面的结果：
$$f_{Y_n}(y) = n \cdot \left(e^{{-y/n}\right)}{n-1} \cdot \frac{1}{n}e^{-y/n}$$
化简后：
$$f_{Y_n}(y) = e^{-y(n-1)/n} \cdot e^{-y/n} = e^{-y}, \quad y \geq 0$$

这正是参数为1的指数分布（Exp(1)）的概率密度，所以$Y_n \sim Exp(1)$。

二、计算事件$\left{ \prod^{{100}_{n=1}(X_{n})}{n} < e^{-105} \right}$的近似概率 #

首先对不等式两边取自然对数（对数函数单调递增，不等号方向不变）：
$$\log\left( \prod_{n=1}^{100}X_nn \right) < \log(e^{-105})$$
利用对数的乘积性质展开左边：
$$\sum_{n=1}^{100}n\log(X_n) < -105$$
两边乘以-1，不等号方向反转：
$$\sum_{n=1}^{100}(-n\log(X_n)) > 105$$
而根据第一部分的结论，$-n\log(X_n)=Y_n$，所以不等式等价于：
$$\sum_{n=1}^{100}Y_n > 105$$

这里默认$X_n$是独立的随机变量序列，因此$Y_n$是独立同分布的Exp(1)随机变量。对于独立同分布的Exp(1)变量，每个$Y_n$的期望$E(Y_n)=1$，方差$Var(Y_n)=1$。那么它们的和$S=\sum_{n=1}^{100}Y_n$的期望和方差分别为：
$$E(S)=100 \times 1=100, \quad Var(S)=100 \times 1=100$$
标准差$\sigma=\sqrt{100}=10$。

由于样本量100较大，根据中心极限定理，$S$近似服从正态分布$N(100,100)$。接下来计算概率$P(S>105)$：
标准化变量$Z=\frac{S-E(S)}{\sigma}=\frac{S-100}{10}$，则$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$，因此：
$$P(S>105)=P\left(Z>\frac{105-100}{10}\right)=P(Z>0.5)$$

查标准正态分布表可知，$\Phi(0.5)\approx0.6915$（$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数），因此：
$$P(Z>0.5)=1-\Phi(0.5)\approx1-0.6915=0.3085$$

所以该事件的概率近似值约为0.3085。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sergio.azevedo